Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral1^infty 1(1+x) raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
integral1^infty1(1+x)raizx,dx
e justificar por que ela é imprópria, além de dizer se converge ou diverge.
Conteúdo: integrais impróprias de 1ª espécie (intervalo infinito) e técnica de substituição para encontrar antiderivada.

Passo 2

A integral é imprópria porque o limite superior do intervalo de integração é infinito. Não há singularidade em x=1 pois o integrando é contínuo em [1,infty); logo a única “impropriedade” vem de infty.

Passo 3

Para calcular a antiderivada use a substituição
u = raizx, x = u^2, dx = 2u,du
Então
1(1+x)raizx,dx = x^-1/21+x,dx = 1/u1+u^2,2u,du = 21+u^2,du
Logo uma antiderivada é
integral 1(1+x)raizx,dx = integral 21+u^2,du = 2arctan(u) + C = 2arctanl(raizxr) + C

Passo 4

Avalie de 1 até b e depois faça btoinfty:
integral1^b1(1+x)raizx,dx = l[2arctan(raizx)r]1^b = 2arctanl(raizbr)-2arctan(1) = 2arctanl(raizbr)-pi2
Quando btoinfty, temos arctan(raizb)to tfracpi2, então
limbtoinftyl(2arctan(raizb)-tfracpi2r) = 2cdottfracpi2-tfracpi2 = pi2

Passo 5

A integral converge e seu valor é pi/2.

Resposta

A integral é imprópria por ter limite superior infinito, convergente, e
integral1^infty1(1+x)raizx,dx = pi2

Exercícios relacionados