Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
e justificar por que ela é imprópria, além de dizer se converge ou diverge.
Conteúdo: integrais impróprias de 1ª espécie (intervalo infinito) e técnica de substituição para encontrar antiderivada.
Conteúdo: integrais impróprias de 1ª espécie (intervalo infinito) e técnica de substituição para encontrar antiderivada.
Passo 2
A integral é imprópria porque o limite superior do intervalo de integração é infinito. Não há singularidade em
pois o integrando é contínuo em
; logo a única “impropriedade” vem de
.
Passo 3
Para calcular a antiderivada use a substituição
Então
Logo uma antiderivada é
Passo 4
Avalie de
até
e depois faça
:
Quando
, temos
, então
Passo 5
A integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral é imprópria por ter limite superior infinito, convergente, e