Justifique porque cada uma das integrais abaixo é imprópria e calcule cada uma delas respondendo se são convergentes ou divergentes.
integral1^3 1(x-2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^3 1(x-2)^2,dx
O conteúdo envolvido são integrais impróprias, que ocorrem quando o integrando não é limitado em algum ponto do intervalo de integração. Aqui vemos que em x=2 o denominador se anula, fazendo 1(x-2)^2to+infty.

Passo 2

Para tratar a descontinuidade em x=2, dividimos a integral em duas partes e introduzimos limites:
integral1^3 1(x-2)^2,dx = limato2^-integral1^a1(x-2)^2,dx + limbto2^+integralb^31(x-2)^2,dx

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de 1(x-2)^2. Note que
ddxl[-(x-2)^-1r] = (x-2)^-2,
logo uma primitiva é
F(x) = -(x-2)^-1

Passo 4

Calculemos a primeira parte:
integral1^a1(x-2)^2,dx = l[-(x-2)^-1r]1^a = -(a-2)^-1 ;-;l[-(1-2)^-1r] = -(a-2)^-1 + 1
Quando ato2^-, o termo -(a-2)^-1 tende a +infty. Portanto essa parte diverge.

Passo 5

Agora a segunda parte:
integralb^31(x-2)^2,dx = l[-(x-2)^-1r]b^3 = l[-(3-2)^-1r] - l[-(b-2)^-1r] = -1 + (b-2)^-1
Quando bto2^+, o termo (b-2)^-1 tende a +infty. Logo essa parte também diverge.

Passo 6

Como pelo menos uma das integrais parabólicas no ponto x=2 diverge (na verdade ambas tendem a +infty), concluímos que
integral1^3 1(x-2)^2,dx
é divergente.

Resposta

A integral é imprópria devido à descontinuidade em x=2 e diverge (não converge).

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