Em cada item a seguir, resolva o PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{2-e^{x}}{3+2 y} \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' = \frac{2 - e^x}{3 + 2y},\qquad y(0)=0,
que é uma equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar y de x, integrar ambos os lados e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(3 + 2y)\,dy = (2 - e^x)\,dx
e integramos cada lado:
\int (3 + 2y)\,dy = \int (2 - e^x)\,dx.
No lado esquerdo
\int (3 + 2y)\,dy = 3y + y^2,
e no lado direito
\int (2 - e^x)\,dx = 2x - e^x + C.
Portanto, a relação implícita é
y^2 + 3y = 2x - e^x + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Em x=0, y=0, o lado esquerdo vale 0 e o direito vale 2\cdot0 - e^0 + C = -1 + C. Logo
0 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = 1.
Assim a solução implícita fica
y^2 + 3y = 2x - e^x + 1.

Passo 4

Para obter y explicitamente resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 + 3y - (2x - e^x + 1) = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4\,(2x - e^x +1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13 + 8x - 4e^x}}{2}.
Usamos a condição inicial para escolher o sinal. Em x=0, o discriminante é \sqrt{9}=3, então
y(0)=\frac{-3 \pm 3}{2}
só dá 0 se usarmos o sinal +. Portanto, a solução que satisfaz o PVI é
y(x) = \frac{-3 + \sqrt{13 + 8x - 4e^x}}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{-3 + \sqrt{13 + 8x - 4e^x}}{2}.

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