Em cada item a seguir, resolva o PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{2 \cos (2 x)}{3+2 y} \\\ y(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI \{\,y'=\frac{2\cos(2x)}{3+2y},\;y(0)=-1\}.
Esse é um EDO de variáveis separáveis, pois dá para agrupar termos com y de um lado e termos com x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(3+2y)\,\mathrm{d}y \;=\;2\cos(2x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int(3+2y)\,\mathrm{d}y \;=\;\int 2\cos(2x)\,\mathrm{d}x.
No lado esquerdo
\int(3+2y)\,\mathrm{d}y =3y + y^2 + C_1,
e no direito
\int 2\cos(2x)\,\mathrm{d}x =\sin(2x) + C_2.
Aí obtemos
y^2 + 3y \;=\;\sin(2x) + C,
onde C=C_2-C_1.

Passo 4

Usamos a condição y(0)=-1. Em x=0 temos
(-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2,
e
\sin(0) + C = 0 + C = C.
Logo C = -2 e a solução implícita fica
y^2 + 3y = \sin(2x) - 2.

Passo 5

Para expressar y isolado, resolvemos a quadrática
y^2 + 3y +2 - \sin(2x)=0
pela fórmula de Bhaskara:
y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 -4(1)(2-\sin(2x))}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1 +4\sin(2x)}}{2}.
Como em x=0 queremos y(0)=-1, avaliamos \sqrt{1+4\sin0}=\sqrt{1}=1 e vemos que a raiz “ +” dá
\frac{-3+1}{2}=-1,
enquanto a “ -” daria -2. Logo escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

y(x)=\frac{-3+\sqrt{1+4\sin(2x)}}{2}.

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