Em cada item a seguir, resolva o PVI.
(b) \left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(x) \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\end{array}\right.

Passo 1

O PVI dado é
x\,y' + 2\,y = \sin(x),\quad y\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)=1.
Trata-se de uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos pôr na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x),
identificar p(x) e q(x) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (assumindo x\neq0), obtemos
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\sin(x)}{x}.
Logo
p(x)=\frac{2}{x}, \qquad q(x)=\frac{\sin(x)}{x}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(2\ln|x|\bigr) =x^2.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=x^2, o lado esquerdo torna-se derivada de x^2y:
x^2y' + 2x\,y = \frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr)=x\sin(x).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y=\int x\sin(x)\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int x\sin(x)\,dx:
\int x\sin(x)\,dx =-x\cos(x)+\int\cos(x)\,dx =-x\cos(x)+\sin(x),
portanto
x^2y=-x\cos(x)+\sin(x)+C.

Passo 6

Usamos a condição y(\pi/2)=1:
1 =y\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{-\tfrac{\pi}{2}\cos(\tfrac{\pi}{2})+\sin(\tfrac{\pi}{2})+C}{(\tfrac{\pi}{2})^2} =\frac{0+1+C}{\pi^2/4} =\frac{1+C}{\pi^2/4}
\Longrightarrow 1+C=\frac{\pi^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{\pi^2}{4}-1.

Resposta

y(x) =\frac{-x\cos(x)+\sin(x)+\bigl(\tfrac{\pi^2}{4}-1\bigr)}{x^2}.

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