Em cada item a seguir, resolva o PVI.
(c) \left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}+(x+1) y=x \\\ y(\ln (2))=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y'+(x+1)\,y = x,
com condição
y\bigl(\ln(2)\bigr)=1.
Este é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos primeiro escrever no formato
y'+p(x)\,y=q(x)
e depois usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (e assumindo x>0 para incluir x=\ln(2)), obtemos
y' + \frac{x+1}{x}\,y = 1.
Aqui p(x)=1+\frac1x e q(x)=1.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1x\bigr)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x+\ln x\bigr) =x\,e^{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(x), fica
x e^{x}\,y' + (x+1)e^{x}\,y = x e^{x}.
O lado esquerdo é a derivada de x e^{x}y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{x}y\bigr)=x e^{x}.
Integrando ambos os lados em relação a x, vem
x e^{x}y = \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C.

Passo 5

Isolando y,
y(x)=\frac{e^{x}(x-1)+C}{x\,e^{x}} =\frac{x-1}{x}+\frac{C\,e^{-x}}{x} =1-\frac1x+\frac{C\,e^{-x}}{x}.

Passo 6

Usando y(\ln2)=1, substituímos x=\ln2:
1 = 1 - \frac{1}{\ln2} + \frac{C\,e^{-\ln2}}{\ln2} =1 - \frac{1}{\ln2} + \frac{C}{2\,\ln2}.
Isolando C:
0 = -\frac{1}{\ln2} + \frac{C}{2\,\ln2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{C}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C=2.

Resposta

y(x)=1-\frac1x+\frac{2\,e^{-x}}{x} =\frac{x-1+2e^{-x}}{x}.

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