Suponha que a siderúrgica onde trabalha fabrica uma chapa de metal no formato de um paralelogramo formada a partir dos vetores u=(1,-1,1) e v=(2,-3,4), com medidas dadas em metros. O material dessa chapa custa \mathrm{R} \ 28,00 por\mathrm{m}^{2}$. Qual o custo na produção de dez chapas iguais a essa?

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{u}=(1,-1,1) e \mathbf{v}=(2,-3,4),
que definem um paralelogramo cuja área queremos calcular. O custo do material é R$ 28,00 por \mathrm{m}^2 e precisamos produzir dez chapas iguais.
Conteúdo: cálculo da área de paralelogramo em \mathbb{R}^3 usando produto vetorial e conversão de área em custo.

Passo 2

Para achar a área do paralelogramo, calculamos o produto vetorial
\mathbf{u}\times \mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix} =( (-1)\cdot4 - 1\cdot(-3),\,1\cdot2 - 1\cdot4,\,1\cdot(-3)-(-1)\cdot2 ) =(-1,\,-2,\,-1).

Passo 3

A área do paralelogramo é a norma de \mathbf{u}\times \mathbf{v}:
\|\mathbf{u}\times \mathbf{v}\| =\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+4+1} =\sqrt{6}\,\mathrm{m}^2.

Passo 4

O custo de uma chapa é
\text{custo por chapa} =28\\ (\text{R\$ por m}^2)\times \sqrt{6}\\ (\mathrm{m}^2) =28\sqrt{6}\\ \text{R\$}.

Passo 5

Para dez chapas, multiplicamos por 10:
\text{custo total} =10\times 28\sqrt{6} =280\sqrt{6}\\ \text{R\$} \approx 686{,}86\\ \text{R\$}.

Resposta

O custo para produzir dez chapas é R$ 280\sqrt{6} \approx R$ 686,86.

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