Suponha que dois aviões decolem de um ponto que chamaremos de origem e representaremos pelo ponto ( 0,0,0 ). Após alguns instantes, o avião A encontrase no ponto (5,-3,2) e o avião B, no ponto (-4,2, z), separados por uma distância em quilômetros e cujo ângulo entre eles é de 107^{\circ}. Determine a coordenada positiva z do avião B.

Passo 1

O enunciado diz que, a partir da origem (0,0,0), os aviões A e B estão nos pontos
A=(5,-3,2), \quad B=(-4,2,z),
que formam entre si um ângulo de 107^\circ medido no vértice da origem, e que a distância AB vale certo valor em quilômetros (não informado). Para encontrar z, usaríamos a Lei dos Cossenos no triângulo formado pelos pontos O, A e B.

Passo 2

Calculemos os comprimentos dos vetores
\|OA\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{38}, \qquad \|OB\| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + z^2} = \sqrt{20 + z^2}.
Se chamarmos de d a distância AB, a Lei dos Cossenos dá
d^2 = \|OA\|^2 + \|OB\|^2 - 2\,\|OA\|\,\|OB\|\cos(107^\circ).

Passo 3

Substituindo \|OA\|^2=38 e \|OB\|^2=20+z^2, fica
d^2 = 38 + (20 + z^2) - 2\sqrt{38}\,\sqrt{20+z^2}\,\cos(107^\circ).
Para isolar z, precisamos do valor numérico de d.

Resposta

Não é possível determinar z porque o enunciado não fornece o valor da distância AB. Sem esse dado numérico, a equação acima fica com a incógnita d e não há como encontrar z.

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