Em cada item a seguir, resolva o PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{3 x^{2}}{2 y-4} \\\ y(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = \frac{3x^2}{2y-4},\\\ y(1)=0, \end{cases}
que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Vamos separar as variáveis para integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial, multiplicamos ambos os lados por (2y-4)\,dx e dividimos por 1:
(2y-4)\,dy = 3x^2\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int(2y-4)\,dy = \int 3x^2\,dx.
No lado esquerdo temos
\int 2y\,dy - \int 4\,dy = y^2 - 4y,
e no direito
\int 3x^2\,dx = x^3 + C.
Logo a solução implícita é
y^2 - 4y = x^3 + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 em y^2 - 4y = x^3 + C
0^2 - 4\cdot 0 = 1^3 + C \quad\Longrightarrow\quad 0 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Assim a relação fica
y^2 - 4y = x^3 - 1.

Passo 5

Para encontrar y isolado, resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 - 4y - (x^3 - 1) = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 + 4\,(x^3 - 1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4x^3 - 4}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{x^3 + 3}}{2} = 2 \pm \sqrt{x^3 + 3}.
Como y(1)=0 e \sqrt{1^3+3}=2, escolhemos o sinal negativo para obter
y(1) = 2 - 2 = 0.
Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = 2 - \sqrt{x^3 + 3}.

Resposta

y(x) = 2 - \sqrt{x^3 + 3}.

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