Em cada item a seguir, verifique se a expressão f(x) define uma função R R. No caso afirmativo, determine o valor de f(2), f(0) e f(-T).
f(x)=lx^2+1 se x >= 0, cos (x) se x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a expressão f(x) define uma função de R para R. Se sim, temos que calcular f(2) , f(0) e f(-T) . Vamos precisar entender o que é uma função e como as diferentes partes da expressão f(x) se comportam.

Passo 2

Primeiro, uma função de R para R significa que para todo número real x , existe exatamente um número real f(x) . Precisamos garantir que para cada x , só exista um valor de saída.

Passo 3

Olha a definição de [f(x)):
Temos duas “regras” diferentes dependendo se (x] é maior ou igual a zero ou menor ou igual a zero.

Passo 4

Agora, vamos verificar se em cada ponto só tem uma definição. O único ponto onde as duas regras se encontram é em x = 0 .
Calculando:
Para x = 0 :
f(0) = 0^2 + 1 = 1
e
f(0) = cos(0) = 1
Ambas dão o mesmo resultado, então não tem problema.

Passo 5

Como para todo x real, temos exatamente uma definição de f(x) , isso significa que f(x) realmente é uma função de R para R.

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores pedidos:
Para f(2) :
Como 2 >= 0 ,
f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
Para f(0) :
Já vimos que,
f(0) = 1
Para f(-T) :
Como -T <= 0 ,
f(-T) = cos(-T)
E lembrando que o cosseno é uma função par, temos:
cos(-T) = cos(T)

Resposta

Sim, f(x) define uma função de R para R. Os valores são:
f(2) = 5, f(0) = 1, f(-T) = cos(T)

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