Questão 2. Considere a função
definida por
.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função
. O conteúdo envolvido aqui é derivação, especificamente para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, além de concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde a derivada primeira
é igual a zero ou não existe.
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Usando a regra do produto (
):
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então resolvemos:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira
.
Como
para todo
, o sinal de
depende de
.
Vamos analisar os intervalos:
-
Para
: e -
Para
: e -
Para
: e
Então:
- A função está decrescendo no intervalo
- A função está crescendo nos intervalos
e
Passo 4
Vamos agora para a segunda parte da questão: usar o teste da segunda derivada para determinar se os pontos críticos são de máximo ou mínimo, além de verificar pontos de inflexão e concavidade.
Primeiro, calculamos a segunda derivada
:
Aplicando novamente a regra do produto:
Fatorando, temos:
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Como
nunca é zero, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de inflexão são
,
e
.
Agora, vamos analisar o sinal de
nos pontos críticos
e
:
- Para
:
Como
, o ponto
é um mínimo local.
- Para
:
Como
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Observando que há mudança na concavidade, podemos concluir que
é um ponto de inflexão.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
b) O ponto crítico
é um mínimo local.
O ponto é um ponto de inflexão.
Pontos de inflexão: e
.
Intervalos de concavidade:
O ponto
Pontos de inflexão:
Intervalos de concavidade:
- Concava para cima: onde
- Concava para baixo: onde