Questão 2. Considere a função f: R R definida por f(x)=x^3 e^x.
a) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a função f(x) = x^3 e^x . O conteúdo envolvido aqui é derivação, especificamente para encontrar pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, além de concavidade e pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são aqueles onde a derivada primeira f'(x) é igual a zero ou não existe.
Vamos calcular a primeira derivada de f(x) :
f'(x) = ddx(x^3 e^x)
Usando a regra do produto ( (uv)' = u'v + uv' ):
f'(x) = 3x^2 e^x + x^3 e^x = e^x (3x^2 + x^3)
Para encontrar os pontos críticos, igualamos f'(x) a zero:
e^x (3x^2 + x^3) = 0
Sabemos que e^x nunca é zero, então resolvemos:
3x^2 + x^3 = 0 x^2(3 + x) = 0
Isso nos dá:
x = 0 (com mu<iplicidade 2) x = -3
Então, os pontos críticos são x = -3 e x = 0 .

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada primeira f'(x) = e^x (3x^2 + x^3) .
Como e^x > 0 para todo x , o sinal de f'(x) depende de 3x^2 + x^3 = x^2(3 + x) .
Vamos analisar os intervalos:
  • Para x < -3 :
    3 + x < 0 e x^2 > 0 Rightarrow f'(x) < 0
  • Para -3 < x < 0 :
    3 + x > 0 e x^2 > 0 Rightarrow f'(x) > 0
  • Para x > 0 :
    3 + x > 0 e x^2 > 0 Rightarrow f'(x) > 0
Então:
  • A função está decrescendo no intervalo (-infty, -3)
  • A função está crescendo nos intervalos (-3, 0) e (0, +infty)

Passo 4

Vamos agora para a segunda parte da questão: usar o teste da segunda derivada para determinar se os pontos críticos são de máximo ou mínimo, além de verificar pontos de inflexão e concavidade.
Primeiro, calculamos a segunda derivada f''(x) :
f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(e^x (3x^2 + x^3))
Aplicando novamente a regra do produto:
f''(x) = e^x (3x^2 + x^3) + e^x (6x + 3x^2) = e^x (x^3 + 6x^2 + 6x)
Fatorando, temos:
f''(x) = e^x x (x^2 + 6x + 6)
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos f''(x) = 0 :
e^x x (x^2 + 6x + 6) = 0
Como e^x nunca é zero, temos:
x = 0 ou x^2 + 6x + 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = -6 pm raiz36 - 242 = -6 pm raiz122 = -3 pm raiz3
Então, os pontos de inflexão são x = 0 , x = -3 + raiz3 e x = -3 - raiz3 .
Agora, vamos analisar o sinal de f''(x) nos pontos críticos x = -3 e x = 0 :
  • Para x = -3 :
f''(-3) = e^-3 (-3) [(-3)^2 + 6(-3) + 6] = e^-3 (-3) [9 - 18 + 6] = e^-3 (-3)(-3) = 9e^-3 > 0
Como f''(-3) > 0 , o ponto x = -3 é um mínimo local.
  • Para x = 0 :
f''(0) = e^0 cdot 0 cdot (0 + 0 + 6) = 0
Como f''(0) = 0 , o teste da segunda derivada é inconclusivo. Observando que há mudança na concavidade, podemos concluir que x = 0 é um ponto de inflexão.

Resposta

a) Pontos críticos: x = -3 e x = 0 .
Intervalos de crescimento: (-3, +infty) .
Intervalos de decrescimento: (-infty, -3) .
b) O ponto crítico x = -3 é um mínimo local.
O ponto x = 0 é um ponto de inflexão.
Pontos de inflexão: x = -3 pm raiz3 e x = 0 .
Intervalos de concavidade:
  • Concava para cima: onde f''(x) > 0
  • Concava para baixo: onde f''(x) < 0

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