Verifique se as equações diferenciais de primeira ordem abaixo são lineares ou não, para as que forem lineares resolva o problema de valor inicial dado.
lt y^prime+(t+1) y=t y(ln 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
t,y'(t)+(t+1),y(t)=t, t>0
com condição inicial y(ln 2)=1. O objetivo é classificar a equação (linear ou não) e, se for linear, resolver o problema de valor inicial.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por t (já que t>0) obtemos a forma padrão
y'(t)+l(1+tfrac1tr)y(t)=1
Como aparece y' e y de forma linear (coeficientes são funções de t, sem produtos ou potências de y), concluímos que a equação é linear de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver usamos o fator integrante
mu(t)=exp!l(integrall(1+tfrac1tr)dtr) =expl(t+ln tr) =t,e^t
Multiplicando a equação original por mu(t) reconhecemos
ddtl(mu(t),y(t)r) =ddtl(t,e^t,y(t)r) = t,e^t

Passo 4

Integramos em relação a t:
integral ddtl(t,e^t,y(t)r),dt =integral t,e^t,dt Longrightarrow t,e^t,y(t)=l(t,e^t-e^tr)+C
Logo a solução geral é
y(t) =t,e^t-e^t+Ct,e^t =1-1t+C,e^-tt

Passo 5

Impondo y(ln 2)=1:
1 =1-1ln 2+C,e^-ln 2ln 2 =1-1ln 2+C2,ln 2 ;Longrightarrow; -1ln 2+C2,ln 2=0 ;Longrightarrow; C=2
Substituindo em y(t) vem
y(t)=1-1t+2,e^-tt

Resposta

A equação é linear e a solução do problema de valor inicial é
y(t)=1-1t+2,e^-tt, t>0

Exercícios relacionados