Em cada item a seguir, verifique se a expressão
define uma função
. No caso afirmativo, determine o valor de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a expressão
define uma função que vai dos números reais para os números reais (
). Se isso for verdade, também precisamos encontrar os valores de
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função e como ela está definida no enunciado usando condições diferentes para
positivos e negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a exatamente um elemento de outro conjunto (imagem). No nosso caso, o domínio e a imagem são os números reais (
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dada para [f(x)):
Isso significa que para cada valor de (x]:
- Se
for maior ou igual a 0, será . - Se
for menor que 0, será o seno de , ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar se essa definição realmente cria uma função. Para isso, precisamos garantir que para cada valor de
existe apenas um valor correspondente de
.
- Se
, só temos uma expressão . - Se
, só temos uma expressão .
Não há sobreposição nessas condições, ou seja, cada valor de
pertence a apenas uma das condições. Portanto, para cada
real,
está bem definida e única. Assim,
é realmente uma função de
para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores pedidos:
-
: - Como
, usamos a primeira condição:
- Como
-
: -
está na condição , então:
-
-
: - Aqui,
é negativo (assumindo que é positivo), então usamos a segunda condição:
- Aqui,
- Sabemos que
, então:
Resposta
Sim,
define uma função
. Os valores são: