Em cada item a seguir, verifique se a expressão f(x) define uma função R R. No caso afirmativo, determine o valor de f(2), f(0) e f(-T).
f(x)=llx-4 & se x >= 0, sen(x) & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se a expressão f(x) define uma função que vai dos números reais para os números reais ( R R ). Se isso for verdade, também precisamos encontrar os valores de f(2) , f(0) e f(-T) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função e como ela está definida no enunciado usando condições diferentes para x positivos e negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a exatamente um elemento de outro conjunto (imagem). No nosso caso, o domínio e a imagem são os números reais ( R ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dada para [f(x)):
Isso significa que para cada valor de (x]:
  • Se for maior ou igual a 0, será .
  • Se for menor que 0, será o seno de , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar se essa definição realmente cria uma função. Para isso, precisamos garantir que para cada valor de x existe apenas um valor correspondente de f(x) .
  • Se x >= 0 , só temos uma expressão x - 4 .
  • Se x < 0 , só temos uma expressão sin(x) .
Não há sobreposição nessas condições, ou seja, cada valor de x pertence a apenas uma das condições. Portanto, para cada x real, f(x) está bem definida e única. Assim, f(x) é realmente uma função de R para R .

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores pedidos:
  1. f(2) :
    • Como 2 >= 0 , usamos a primeira condição:
f(2) = 2 - 4 = -2
  1. f(0) :
    • 0 está na condição x >= 0 , então:
f(0) = 0 - 4 = -4
  1. f(-T) :
    • Aqui, -T é negativo (assumindo que T é positivo), então usamos a segunda condição:
f(-T) = sin(-T)
  • Sabemos que sin(-x) = -sin(x) , então:
f(-T) = -sin(T)

Resposta

Sim, f(x) define uma função R R . Os valores são:
f(2) = -2, f(0) = -4, f(-T) = -sin(T)

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