Em cada item, seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa, se tiver, encontre a lei de formação de T^{-1} :
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & -1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\qquad T(v)=A\,v
é invertível e, em caso afirmativo, achar a lei de formação de T^{-1}.
Para isso precisamos (i) calcular \det A e ver se é diferente de zero e, se sim, (ii) computar A^{-1} (por exemplo via adjunta) e escrever
T^{-1}(v)=A^{-1}\,v.

Passo 2

Calculemos \det A por expansão na primeira linha. Temos
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix},
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\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ -1&1\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&0\end{pmatrix} =2\cdot0-1\cdot1=-1, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix} =1\cdot0-1\cdot(-1)=1, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ -1&1\end{pmatrix} =1\cdot1-2\cdot(-1)=3.
Logo
\det A =1\cdot(-1)-4\cdot1 +(-1)\cdot3 = -1-4-3 = -8 \neq 0.
Portanto A é invertível.

Passo 3

Para achar A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Calculando todos os cofatores obtém-se
C=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 3\\\\ -1 & -1 & -5\\\\ 6 & -2 & -2 \end{pmatrix},
de modo que
\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix} -1 & -1 & 6\\\\ -1 & -1 & -2\\\\ 3 & -5 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como \det A=-8, temos
A^{-1}=\frac{1}{-8}\, \begin{pmatrix} -1 & -1 & 6\\\\ -1 & -1 & -2\\\\ 3 & -5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8} & -\tfrac{3}{4}\\\ \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4}\\\\ -\tfrac{3}{8} & \tfrac{5}{8} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.
Logo, para v=(x,y,z),
T^{-1}(x,y,z) =A^{-1}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{8}y-\tfrac{3}{4}z\\[6pt] \tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{8}y+\tfrac{1}{4}z\\[6pt] -\tfrac{3}{8}x+\tfrac{5}{8}y+\tfrac{1}{4}z \end{pmatrix}.]

Resposta

T é invertível e
T^{-1}(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{8}y-\tfrac{3}{4}z,\; \tfrac{1}{8}x+\tfrac{1}{8}y+\tfrac{1}{4}z,\; -\tfrac{3}{8}x+\tfrac{5}{8}y+\tfrac{1}{4}z\Bigr).

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