Dado A=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\} a base canônica de \mathbb{R}^{4} e B=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} uma base do \mathbb{R}^{3}, determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que: [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 5 & 4 & 0 & -2\end{array}\right]
Resolução:
O conjunto A é formado pelos vetores canônicos: e_{1}=(1,0,0,0), e_{2}=(0,1,0,0), e_{3}=(0,0,0,1) e e_{4}=(0,0,0,1).
Considere um vetor genéricos pertencente a \mathbb{R}^{4}:(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}. Escrevemos esse vetor como uma combinação linear dos vetores canônicos:
\begin{gathered} (x, y, z, w)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1) \\\ (x, y, z, w)=(a, b, c, d) \rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=x \\\ b=y \\\ c=z \\\ w=d \end{array} \quad \begin{array}{l} \text { Essa igualdade dos coeficientes da combinação } \\\ \text { com as coordenadas do vetor ocorre quando } \\\ \text { consideramos a base canônica. } \end{array}\right. \end{gathered}çãô
Sendo assim, temos que:
\begin{gathered} T(x, y, z, w)=T(a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)) \\\ T(x, y, z, w)=a T(1,0,0,0)+b T(0,1,0,0)+c T(0,0,1,0)+d T(0,0,0,1) \end{gathered}
O enunciado dá a base canônica \,A=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} de \mathbb{R}^{4} e a base \,B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3}.
Queremos encontrar a transformação linear \;T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz de passagem de A em B é