Dado A=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\} a base canônica de \mathbb{R}^{4} e B=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} uma base do \mathbb{R}^{3}, determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que: [T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 5 & 4 & 0 & -2\end{array}\right]

Resolução:

O conjunto A é formado pelos vetores canônicos: e_{1}=(1,0,0,0), e_{2}=(0,1,0,0), e_{3}=(0,0,0,1) e e_{4}=(0,0,0,1).
Considere um vetor genéricos pertencente a \mathbb{R}^{4}:(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4}. Escrevemos esse vetor como uma combinação linear dos vetores canônicos:
\begin{gathered} (x, y, z, w)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1) \\\ (x, y, z, w)=(a, b, c, d) \rightarrow\left\{\begin{array}{l} a=x \\\ b=y \\\ c=z \\\ w=d \end{array} \quad \begin{array}{l} \text { Essa igualdade dos coeficientes da combinação } \\\ \text { com as coordenadas do vetor ocorre quando } \\\ \text { consideramos a base canônica. } \end{array}\right. \end{gathered}çãô
Sendo assim, temos que:
\begin{gathered} T(x, y, z, w)=T(a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)) \\\ T(x, y, z, w)=a T(1,0,0,0)+b T(0,1,0,0)+c T(0,0,1,0)+d T(0,0,0,1) \end{gathered}
Como: a=x, b=y, c=z e d=w, então:
T(x, y, z, w)=x . T(1,0,0,0)+y . T(0,1,0,0)+z . T(0,0,1,0)+w . T(0,0,0,1)
Da a matriz [T]_{B}^{A}, temos que:
\begin{gathered} {[T]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 5 & 4 & 0 & -2 \end{array}\right] \rightarrow\left\{\begin{array}{c} T(1,0,0,0)=1 \cdot(1,1,1)+(-1) \cdot(0,1,1)+5 \cdot(0,0,1) \\\ T(0,1,0,0)=2 \cdot(1,1,1)+0 \cdot(0,1,1)+4 \cdot(0,0,1) \\\ T(0,0,1,0)=3 \cdot(1,1,1)+1 \cdot(0,1,1)+0 \cdot(0,0,1) \\\ T(0,0,0,1)=0 \cdot(1,1,1)+1 \cdot(0,1,1)+(-2) \cdot(0,0,1) \end{array}\right.} \\\ \rightarrow\left\{\begin{array}{c} T(1,0,0,0)=(1,0,5) \\\ T(0,1,0,0)=(2,2,6) \\\ T(0,0,1,0)=(3,4,4) \\\ T(0,0,0,1)=(0,1,-1) \end{array}\right. \end{gathered}
Então:
\begin{gathered} T(x, y, z, w)=x \cdot T(1,0,0,0)+y \cdot T(0,1,0,0)+z \cdot T(0,0,1,0)+w \cdot T(0,0,0,1) \\ T(x, y, z, w)=x \cdot(1,0,5)+y \cdot(2,2,6)+z \cdot(3,4,4)+w \cdot(0,1,-1) \\ T(x, y, z, w)=(x+2 y+3 z, 2 y+4 z+w, 5 x+6 y+4 z-w) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a base canônica
\,A=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} de \mathbb{R}^{4} e a base
\,B=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\} de \mathbb{R}^{3}.
Queremos encontrar a transformação linear
\;T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz de passagem de A em B é
[T]_{B}^{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ -1& 0 & 1 & 1\\\\ 5 & 4 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal envolve interpretação de matrizes de transformação linear em bases não-padrão e como obter a fórmula de T no sistema canônico.

Passo 2

Por definição, a coluna j de [T]_{B}^{A} são as coordenadas de T(e_{j}) em relação à base B. Ou seja, se chamamos as colunas de
M_{\cdot j} = \begin{pmatrix} m_{1j}\\\ m_{2j}\\\ m_{3j} \end{pmatrix},
então
T(e_{j}) = m_{1j}\,b_{1} + m_{2j}\,b_{2} + m_{3j}\,b_{3}.

Passo 3

Identificando as colunas de [T]_{B}^{A}:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }&\bigl(m_{11},m_{21},m_{31}\bigr)=(1,-1,5),\\\ \text{coluna 2: }&\bigl(m_{12},m_{22},m_{32}\bigr)=(2,\,0,4),\\\ \text{coluna 3: }&\bigl(m_{13},m_{23},m_{33}\bigr)=(3,\,1,0),\\\ \text{coluna 4: }&\bigl(m_{14},m_{24},m_{34}\bigr)=(0,\,1,-2). \end{aligned}

Passo 4

Calculamos cada T(e_{j}) em coordenadas canônicas:
\begin{aligned} T(e_{1}) &=1\,(1,1,1)+(-1)\,(0,1,1)+5\,(0,0,1) =(1,0,5),\\\ T(e_{2}) &=2\,(1,1,1)+0\,(0,1,1)+4\,(0,0,1) =(2,2,6),\\\ T(e_{3}) &=3\,(1,1,1)+1\,(0,1,1)+0\,(0,0,1) =(3,4,4),\\\ T(e_{4}) &=0\,(1,1,1)+1\,(0,1,1)+(-2)\,(0,0,1) =(0,1,-1). \end{aligned}

Passo 5

Para um vetor genérico (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4} na base canônica, a linearidade dá
T(x,y,z,w) =x\,T(e_{1})+y\,T(e_{2})+z\,T(e_{3})+w\,T(e_{4}),
logo, substituindo os resultados do passo anterior,
T(x,y,z,w) =(x,y,z,w)\cdot \bigl[(1,0,5),(2,2,6),(3,4,4),(0,1,-1)\bigr]
que, agrupando componentes, resulta em

Resposta

T(x,y,z,w) = \bigl(x+2y+3z,\;2y+4z+w,\;5x+6y+4z-w\bigr).

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