Calcular os autovalores e autovetores correspondentes as matrizes abaixo:
A=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve cálculo do polinômio característico \det(A - \lambda I), fatoração para obter os autovalores \lambda e, em seguida, resolução de (A - \lambda I)v = 0 para cada \lambda.

Passo 2

Formamos A - \lambda I e seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 1\\\\ 1 & 4-\lambda & 1\\\\ 1 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 + 10\lambda^2 -28\lambda +24
ou, multiplicando por -1,
\lambda^3 - 10\lambda^2 +28\lambda -24 = 0.

Passo 3

Buscando raízes inteiras possíveis em \{\pm1,2,3,4,6,8,12,24\}, achamos \lambda=2. Fatorando por divisão sintética,
\lambda^3 -10\lambda^2 +28\lambda -24 = (\lambda-2)^2(\lambda-6).
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 2 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2 = 6.

Passo 4

Para \lambda=6, resolvemos (A - 6I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} -3 & 2 & 1\\\\ 1 & -2& 1\\\\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Dessas equações decorre x=y=z. Um autovetor correspondente é
v_{6} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=2, resolvemos (A - 2I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0,
que reduz-se à única equação x + 2y + z = 0.
Tomando y=1,\,z=0 e y=0,\,z=1 obtemos dois autovetores independentes:
v_{2}^{(1)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{2}^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda=6 com autovetor
v_{6} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix};
\lambda=2 (multiplicidade 2) com autovetores independentes
v_{2}^{(1)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_{2}^{(2)} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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