Em cada item, seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa, se tiver, encontre a lei de formação de T^{-1} :
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 2 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x)=A\,x,
com
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
O objetivo é verificar se T é invertível (isto é, se \det A\neq0) e, em caso afirmativo, encontrar a fórmula de T^{-1}(x)=A^{-1}x.

Passo 2

Calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 0\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-(-1)\cdot3=3,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 2 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-(-1)\cdot2=2,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-2\cdot2=-4.
Logo
\det A =1\cdot3 +1\cdot2 +1\cdot(-4) =3+2-4=1\neq0.
Portanto T é invertível.

Passo 3

Para obter A^{-1} usamos a matriz dos cofatores e transposta (adjugada). Calculando os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, chega-se à matriz de cofatores
C=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -4\\\\ 3 & -2 & -5\\\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
A adjugada é \operatorname{adj}(A)=C^{T}, ou seja
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1\\\\ -2 & -2 & 1\\\\ -4 & -5 & 2 \end{pmatrix}.
Como \det A=1, temos A^{-1}=\operatorname{adj}(A).

Passo 4

Assim
A^{-1} =\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1\\\\ -2 & -2 & 1\\\\ -4 & -5 & 2 \end{pmatrix}.
Logo, para x=(x_1,x_2,x_3),
T^{-1}(x)=A^{-1}x =\begin{pmatrix} 3x_{1}+3x_{2}-x_{3}\\\\ -2x_{1}-2x_{2}+x_{3}\\\\ -4x_{1}-5x_{2}+2x_{3} \end{pmatrix}.

Resposta

T é invertível (pois \det A=1\neq0) e
T^{-1}(x_{1},x_{2},x_{3}) =\bigl(3x_{1}+3x_{2}-x_{3},\,-2x_{1}-2x_{2}+x_{3},\,-4x_{1}-5x_{2}+2x_{3}\bigr).

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