Calcular os autovalores e autovetores correspondentes as matrizes abaixo:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores \lambda e os autovetores v da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 2 & 3 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Isso envolve dois passos principais: primeiro resolver \det(A - \lambda I)=0 para achar os autovalores, e depois, para cada \lambda, resolver (A - \lambda I)v = 0 para obter o autovetor correspondente.

Passo 2

Vamos montar a equação característica
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 & 0\\\\ 2 & 3-\lambda & 2\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} =0.
Expandindo pela primeira linha, obtemos
(1-\lambda)\bigl[(3-\lambda)(2-\lambda)-2\cdot1\bigr] -(-1)\bigl[2(2-\lambda)-2\cdot1\bigr] =0.

Passo 3

Calculando os determinantes internos:
(3-\lambda)(2-\lambda)-2 = (\lambda^2 -5\lambda +6)-2 = \lambda^2 -5\lambda +4,
2(2-\lambda)-2 = 4 -2\lambda -2 = 2 -2\lambda.
Logo
(1-\lambda)(\lambda^2 -5\lambda +4) + (2-2\lambda) = -\bigl(\lambda^3 -6\lambda^2 +11\lambda -6\bigr) =0,
que dá a equação
\lambda^3 -6\lambda^2 +11\lambda -6 = 0.
Fatorando, vemos que \lambda=1 é raiz, e o quociente é \lambda^2 -5\lambda +6 = (\lambda-2)(\lambda-3).

Passo 4

Concluímos que os autovalores são
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 3.

Passo 5

Para \lambda_1 = 1 resolvemos
(A - I)v = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\\\ 2 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem -y=0\implies y=0. Da segunda, 2x+2z=0\implies x=-z. Logo um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_2 = 2 resolvemos
(A - 2I)v = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem -x-y=0\implies y=-x. Da segunda, 2x + y +2z=0\implies x+2z=0\implies x=-2z. Assim um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Para \lambda_3 = 3 resolvemos
(A - 3I)v = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Da primeira linha vem -2x - y=0\implies y=-2x. Da segunda, 2x+2z=0\implies z=-x. Assim um autovetor é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e autovetores (cada um definido até múltiplo escalar):
\lambda_1 = 1, v_1 = (1,0,-1)^T
\lambda_2 = 2, v_2 = (-2,2,1)^T
\lambda_3 = 3, v_3 = (1,-2,-1)^T

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