Em cada item, seja T: R^3 R^3 a multiplicação por A. Determine se T tem uma inversa, se tiver, encontre a lei de formação de T^-1 :
A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado diz que temos a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(v)=A,v,
com
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Para que T tenha inversa, precisamos que A seja invertível, ou seja, det Aneq0.

Passo 2

Calculamos o determinante de A aplicando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores. Por exemplo,
det A =1l((1)(0)-(1)(1)r) -0+;1l((0)(1)-(1)(1)r) =-1-1=-2
Como det A=-2neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, T tem inversa.

Passo 3

Para achar usamos
e . Calculando a matriz de cofactores obtemos
que é simétrica, logo . Assim

Passo 4

A lei de formação de em coordenadas é dada por

Resposta

T é invertível e
T^-1(x,y,z) =l(tfrac12 x-tfrac12 y+tfrac12 z,;-,tfrac12 x+tfrac12 y+tfrac12 z,;tfrac12 x+tfrac12 y-tfrac12 zr)

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