Mostre que as coleções de vetores em R^3 seguintes, são linearmente independentes
u=(1, 12, 0), v=(12, 1,0), w=(12, 12, 1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores
u=(1,tfrac12,0), v=(tfrac12,1,0), w=(tfrac12,tfrac12,1)
são linearmente independentes em R^3. Vamos usar a definição de independência linear: a combinação
c1,u + c2,v + c3,w = (0,0,0)
só pode ter a solução trivial c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear componente a componente, obtemos o sistema
c1cdot1 + c2cdottfrac12 + c3cdottfrac12 = 0, c1cdottfrac12 + c2cdot1 + c3cdottfrac12 = 0, c1cdot0 + c2cdot0 + c3cdot1 = 0

Passo 3

Da terceira equação vem imediatamente
c3 = 0
Substituindo c3=0 nas duas primeiras, fica o sistema
c1 + tfrac12,c2 = 0, tfrac12,c1 + c2 = 0

Passo 4

Para resolver o sistema 2times 2, calculamos seu determinante:
De<a = 1 & tfrac12[6pt] tfrac12 & 1 =1cdot1 - tfrac12cdottfrac12 =1 - tfrac14 =tfrac34 neq 0
Como De<a neq 0, a única solução é c1=0 e c2=0.]

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem c1u+c2v+c3w=0 são c1=c2=c3=0. Logo, u,v,w é linearmente independente.

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