Qual coleção de vetores em R^3 é linearmente dependente?
u=(12, 32, 12), v=(0,1, 12), w=(12, 12, 0)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=l(tfrac12,tfrac32,tfrac12r), v=l(0,1,tfrac12r), w=l(tfrac12,tfrac12,0r)
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, podemos montar a matriz cujas colunas são u,v,w e calcular seu determinante; se for zero, há dependência linear.

Passo 2

Formamos a matriz
A = tfrac12 & 0 & tfrac12[6pt] tfrac32 & 1 & tfrac12[3pt] tfrac12 & tfrac12 & 0
e calculamos
det A = tfrac12det!1 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 -0 + tfrac12det!tfrac32 & 1[3pt]tfrac12 & tfrac12
O primeiro menor é 1cdot0 - tfrac12cdottfrac12 = -tfrac14, o segundo é tfrac32cdottfrac12 -1cdottfrac12=tfrac14. Então
det A = tfrac12l(-tfrac14r)+tfrac12l(tfrac14r) = -tfrac18+tfrac18 = 0 ]

Passo 3

Como
Das componentes temos o sistema
Da primeira equação vem . Verifica-se que a segunda é satisfeita por essas escolhas. Tomando , obtemos
ou seja, .
]

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois
u - v - w = 0

Exercícios relacionados