Qual coleção de vetores em é linearmente dependente?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em :
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, podemos montar a matriz cujas colunas são e calcular seu determinante; se for zero, há dependência linear.
Passo 2
Formamos a matriz
e calculamos
det A = tfrac12det!1 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 -0 + tfrac12det!tfrac32 & 1[3pt]tfrac12 & tfrac12
O primeiro menor é 1cdot0 - tfrac12cdottfrac12 = -tfrac14, o segundo é tfrac32cdottfrac12 -1cdottfrac12=tfrac14. Então
det A = tfrac12l(-tfrac14r)+tfrac12l(tfrac14r) = -tfrac18+tfrac18 = 0 ]
Passo 3
Como
Das componentes temos o sistema
Da primeira equação vem . Verifica-se que a segunda é satisfeita por essas escolhas. Tomando , obtemos