Em cada item, use o processo de Gram-Shmidt para transformar a base V1, V2, V3 numa base ortonormal.
(b) V1=(1,0,0), V2=(3,7,-2), V3=(0,4,1)

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da base
V1,V2,V3subsetR^3 com
V1=(1,0,0), V2=(3,7,-2), V3=(0,4,1),
aplicar o processo de Gram–Schmidt e obter uma base ortonormal e1,e2,e3. Vamos lembrar que, passo a passo, definimos vetores
,u1=V1,;u2=V2-proju1V2,;u3=V3-proju1V3-proju2V3,
e em seguida normalizamos cada ui para obter ei=ui/|ui|.

Passo 2

Calculamos primeiro
u1=V1=(1,0,0), |u1|=raiz1^2+0^2+0^2=1,
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e1=u1|u1|=(1,0,0)

Passo 3

Projetamos V2 sobre e1 e formamos u2:
lang<= V2,e1rang<= = (3,7,-2)cdot(1,0,0)=3, proje1V2=3,e1=(3,0,0)
Então
u2=V2-proje1V2=(3,7,-2)-(3,0,0)=(0,7,-2),
|u2|=raiz0^2+7^2+(-2)^2=raiz49+4=raiz53,
e2=u2|u2|=(0,7,-2)raiz53

Passo 4

Agora projetamos V3 sobre e1 e e2 para obter u3:
lang<= V3,e1rang<==(0,4,1)cdot(1,0,0)=0, lang<= V3,e2rang<==(0,4,1)cdot(0,7,-2)raiz53 =28-2raiz53=26raiz53
Assim
proje2V3 =26raiz53,e2 =26raiz53cdot(0,7,-2)raiz53 =2653(0,7,-2) =(0,tfrac18253,-tfrac5253),
u3=V3-proje1V3-proje2V3 =(0,4,1)-(0,0,0)-(0,tfrac18253,-tfrac5253) =(0,tfrac3053,tfrac10553) =1553(0,2,7)
O comprimento de u3 é
|u3| =1553raiz0^2+2^2+7^2 =1553raiz53 =15raiz5353,
e finalmente
e3=u3|u3| =1553(0,2,7)15raiz5353 =(0,2,7)raiz53

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
e1=(1,0,0), e2=(0,7,-2)raiz53, e3=(0,2,7)raiz53

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