Em cada item, use o processo de Gram-Shmidt para transformar a base V1, V2, V3 numa base ortonormal.
(a) V1=(1,1,1), V2=(-1,1,0), V3=(1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base V1,V2,V3subsetR^3, com
V1=(1,1,1), V2=(-1,1,0), V3=(1,2,1)
e obter uma base ortonormal e1,e2,e3. Vamos usar produto escalar padrão e norma euclidiana, calculando vetores intermediários ui e depois normalizando.

Passo 2

Definimos
u1=V1=(1,1,1)
A norma de u1 é
|u1|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Logo
e1=u1|u1|=1raiz3,(1,1,1)

Passo 3

Calculamos
u2=V2-lang<= V2,e1rang<=,e1
Como lang<= V2,e1rang<==(-1+1+0)/raiz3=0, temos u2=V2=(-1,1,0). A norma de u2 é
|u2|=raiz(-1)^2+1^2+0^2=raiz2
Portanto
e2=u2|u2|=1raiz2,(-1,1,0)

Passo 4

Agora
u3=V3-lang<= V3,e1rang<=,e1-lang<= V3,e2rang<=,e2
Calcula-se
lang<= V3,e1rang<==(1+2+1)/raiz3=4/raiz3
e
lang<= V3,e2rang<==(-1+2+0)/raiz2=1/raiz2.
Substituindo e simplificando obtém-se
u3=l(1,2,1r)-4raiz3,e1-1raiz2,e2 =l(tfrac16,tfrac16,-tfrac13r)
A norma de u3 é
|u3|=raiztfrac16^2+tfrac16^2+tfrac(-2)^26^2 =raiz66
Logo
e3=u3|u3|=1raiz6,(1,1,-2)

Resposta

e1=1raiz3,(1,1,1), e2=1raiz2,(-1,1,0), e3=1raiz6,(1,1,-2)

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