Diagonalize cada matriz simétrica dada por meio de uma matriz ortogonal P.
(d) [lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
A = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & 3
usando uma matriz ortogonal P. Para isso precisamos encontrar os autovalores de A, seus autovetores, ortonormalizá-los e então montar P de forma que
P^T A P = D
seja diagonal.

Passo 2

Calcular o polinômio característico det(A - lambda I)=0. Como A é bloco-diagonal no terceiro componente,
det(A-lambda I) = det1-lambda & 2[4pt]2 & 1-lambda,l(3-lambdar)
e
det1-lambda & 2[4pt]2 & 1-lambda =(1-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 2lambda -3
Logo as raízes são
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 ;Longrightarrow; lambda = 3 ou lambda = -1,
e o fator 3-lambda dá outro lambda=3. Portanto os autovalores são
lambda1 = 3 (mu<iplicidade 2), lambda2 = -1 (mu<iplicidade 1) ]

Passo 3

Encontrar autovetores de .
Para no bloco :
Escolhemos .
Para :
Escolhemos .
Para o segundo autovalor vindo do elemento , basta
]

Passo 4

Ortonormalizar v1,v2,v3 dividindo pela norma:
u1 = 1raiz2(1,1,0), u2 = 1raiz2(1,-1,0), u3 = (0,0,1)
Esses vetores formam uma base ortonormal de R^3.

Passo 5

Montar P cujas colunas são u1,u2,u3. Então
P = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0[4pt] tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 & 0[4pt] 0 & 0 & 1 ,
e de fato
P^T A P = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3 ]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 & 0[4pt] tfrac1raiz2 & -tfrac1raiz2 & 0[4pt] 0 & 0 & 1
e a forma diagonal é
D = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 3 ]

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