Diagonalize cada matriz simétrica dada por meio de uma matriz ortogonal
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
usando uma matriz ortogonal
P . Para isso precisamos encontrar os autovalores de
A , seus autovetores, ortonormalizá-los e então montar
P de forma que
seja diagonal.
Passo 2
Calcular o polinômio característico
det(A - lambda I)=0 . Como
A é bloco-diagonal no terceiro componente,
e
Logo as raízes são
e o fator
3-lambda dá outro
lambda=3 . Portanto os autovalores são
Passo 3
Encontrar autovetores de
.
Para
no bloco
:
Escolhemos
.
Para
:
Escolhemos
.
Para o segundo autovalor
vindo do elemento
, basta
Passo 4
Ortonormalizar
v1,v2,v3 dividindo pela norma:
Esses vetores formam uma base ortonormal de
R^3 .
Passo 5
Montar
P cujas colunas são
u1,u2,u3 . Então
e de fato
Resposta
A matriz ortogonal que diagonaliza
A é
e a forma diagonal é