Em cada item, use o processo de Gram-Shmidt para transformar a base V1, V2, V3 numa base ortonormal.
(a) V1=(1,1,1), V2=(-1,1,0), V3=(1,2,1)
(b) V1=(1,0,0), V2=(3,7,-2), V3=(0,4,1).

Passo 1

O enunciado pede para, em cada item, aplicar o processo de Gram–Schmidt à base V1,V2,V3subsetR^3 e obter uma base ortonormal. Vamos usar o produto interno canônico
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
e a norma lVert xrVert = raizlang<= x,xrang<=.

Passo 2

(a) Primeiro ortonormalizamos V1 e V2.
Defina
u1 = V1 = (1,1,1), e1 = u1lVert u1rVert = 1raiz3(1,1,1)
Agora
u2 = V2 - lang<= V2,e1rang<=,e1, lang<= V2,e1rang<= = -1+1+0raiz3=0,
logo u2=V2=(-1,1,0) e
e2 = u2lVert u2rVert = 1raiz2(-1,1,0)

Passo 3

Ainda em (a), ortonormalizamos V3 em relação a e1,e2:
u3 = V3 - lang<= V3,e1rang<=,e1 - lang<= V3,e2rang<=,e2
Calculamos
lang<= V3,e1rang<==(1+2+1)/raiz3=4/raiz3 e
lang<= V3,e2rang<==(-1+2+0)/raiz2=1/raiz2.
Fazendo as subtrações obtemos
u3 = l(1,2,1r) - 43(1,1,1) - 12(-1,1,0) = 16(1,1,-2),
com norma lVert u3rVert = raiz6/6. Então
e3 = u3lVert u3rVert = 1raiz6(1,1,-2)

Passo 4

(b) Ortonormalizamos V1 e V2.
u1 = V1 = (1,0,0), e1 = u1/lVert u1rVert = (1,0,0)
u2 = V2 - lang<= V2,e1rang<=,e1 = (3,7,-2) - 3,(1,0,0) = (0,7,-2), lVert u2rVert = raiz53,
e2 = 1raiz53(0,7,-2)

Passo 5

Ainda em (b), ortonormalizamos V3 em relação a e1,e2:
u3 = V3 - lang<= V3,e1rang<=,e1 - lang<= V3,e2rang<=,e2,
onde lang<= V3,e1rang<==0 e
lang<= V3,e2rang<==(0cdot0+4cdot7+1cdot(-2))/raiz53=26/raiz53
Isso dá
u3 = (0,4,1) - 26raiz53cdot1raiz53(0,7,-2) = l(0,tfrac3053,tfrac10553r) = 1553(0,2,7),
com lVert u3rVert=15/raiz53. Logo
e3 = u3lVert u3rVert = 1raiz53(0,2,7)

Resposta

(a) A base ortonormal é
e1=1raiz3(1,1,1), e2=1raiz2(-1,1,0), e3=1raiz6(1,1,-2)
(b) A base ortonormal é
e1=(1,0,0), e2=1raiz53(0,7,-2), e3=1raiz53(0,2,7)

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