Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
& x1+x2 -x3=0 & (a) -2 x1-x2+2 x3=0 & -x1 +x3=0 & (b) x1-4 x2+3 x3-x4=0 & 2 x1-8 x2+6 x3-2 x4=0 & (c) rr 2 x1+x2+3 x3 & =0 x1 & +5 x3 =0

Passo 1

O enunciado pede para cada um dos três sistemas lineares homogêneos (a), (b) e (c) encontrar uma base do espaço de soluções e a sua dimensão. O conteúdo é resolução de sistemas homogêneos por eliminação (Gauss) ou isolamento de variáveis livres, e usaremos o Teorema da Dimensão ( dimsolução=n-postoçã).

Passo 2

Analisando o sistema (a):
x1+x2-x3=0, -2x1-x2+2x3=0, -,x1+x3=0
Da terceira equação -x1+x3=0 segue ;x3=x1 Substituindo em x1+x2-x3=0
x1+x2-x1=x2=0
A segunda equação é então redundante (vira 0=0).

Passo 3

Como x1 é livre e x2=0,;x3=x1, a solução geral é
(x1,x2,x3) = x1,(1,0,1)
Logo uma base é (1,0,1) e a dimensão é
dim = 1

Passo 4

Analisando o sistema (b):
x1-4x2+3x3-x4=0, 2x1-8x2+6x3-2x4=0
A segunda equação é o dobro da primeira, logo só há uma restrição independente:
x1-4x2+3x3-x4=0
Aqui x2,x3,x4 são livres e x1=4x2-3x3+x4

Passo 5

Escrevendo a solução geral:
(x1,x2,x3,x4) = x2(4,1,0,0)+x3(-3,0,1,0)+x4(1,0,0,1)
Assim uma base é
(4,1,0,0),,(-3,0,1,0),,(1,0,0,1)
e a dimensão é
dim = 3

Passo 6

Analisando o sistema (c):
2x1+x2+3x3=0, x1+5x3=0
Da segunda equação x1=-5x3 Substituindo em 2x1+x2+3x3=0 obtém-se
2(-5x3)+x2+3x3 = -10x3+x2+3x3=x2-7x3=0,
logo x2=7x3

Passo 7

Como x3 é livre, a solução geral é
(x1,x2,x3) = x3,(-5,7,1)
Portanto uma base é (-5,7,1) e a dimensão é
dim = 1

Resposta

(a) Base (1,0,1), dimensão 1.
(b) Base (4,1,0,0),,(-3,0,1,0),,(1,0,0,1), dimensão 3.
(c) Base (-5,7,1), dimensão 1.

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