Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
Passo 1
O enunciado pede para cada um dos três sistemas lineares homogêneos (a), (b) e (c) encontrar uma base do espaço de soluções e a sua dimensão. O conteúdo é resolução de sistemas homogêneos por eliminação (Gauss) ou isolamento de variáveis livres, e usaremos o Teorema da Dimensão ().
Passo 2
Analisando o sistema (a):
Da terceira equação -x1+x3=0 segue ;x3=x1 Substituindo em x1+x2-x3=0 dá
x1+x2-x1=x2=0
A segunda equação é então redundante (vira 0=0).
Passo 3
Como x1 é livre e x2=0,;x3=x1, a solução geral é
(x1,x2,x3) = x1,(1,0,1)
Logo uma base é (1,0,1) e a dimensão é
dim = 1
Passo 4
Analisando o sistema (b):
x1-4x2+3x3-x4=0, 2x1-8x2+6x3-2x4=0
A segunda equação é o dobro da primeira, logo só há uma restrição independente: