Seja W=(x, y, z, w) in R^4 mid x+y+2 z+3 w=0 o subespaço vetorial de R^4 com as operações usuais.
Considerando o produto interno usual do espaço R^4, encontre uma base ortogonal para W.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial W dentro de R^4, definido pela equação x + y + 2z + 3w = 0. A gente quer encontrar uma base ortogonal para esse espaço usando o produto interno padrão que já conhecemos de R^4.
Isso significa que precisamos encontrar um conjunto de vetores dentro de W que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno deles é zero) e que geram todo o espaço W. Pra isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como encontrar vetores que satisfazem a equação dada e então aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar uma base para W. A equação x + y + 2z + 3w = 0 nos dá uma restrição, então podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para x:
x = -y - 2z - 3w
Agora, podemos expressar os vetores de W em termos das variáveis livres y, z, e w:
(x, y, z, w) = (-y - 2z - 3w, y, z, w) = y(-1, 1, 0, 0) + z(-2, 0, 1, 0) + w(-3, 0, 0, 1)
Assim, uma base para W é composta pelos vetores:
v1 = (-1, 1, 0, 0)
v2 = (-2, 0, 1, 0)
v3 = (-3, 0, 0, 1)

Passo 3

Agora que temos uma base para W, precisamos transformar essa base em uma base ortogonal. Para isso, vamos utilizar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a orthogonalizar um conjunto de vetores.
Vamos começar com v1, que já vai ser o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, definimos:
u1 = v1 = (-1, 1, 0, 0)

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar u2 de forma que seja ortogonal a u1. Usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
u2 = v2 - lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1
Primeiro, calculamos o produto interno lang<= v2, u1 rang<=:
lang<= v2, u1 rang<= = (-2)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2
Agora, calculamos lang<= u1, u1 rang<=:
lang<= u1, u1 rang<= = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 + 0 = 2
Então:
u2 = v2 - 22 u1 = v2 - u1 = (-2, 0, 1, 0) - (-1, 1, 0, 0) = (-1, -1, 1, 0)

Passo 5

Agora, vamos encontrar u3, que precisa ser ortogonal a u1 e u2. Usamos novamente a fórmula de Gram-Schmidt:
u3 = v3 - lang<= v3, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 - lang<= v3, u2 rang<=lang<= u2, u2 rang<= u2
Primeiro, calculamos lang<= v3, u1 rang<=:
lang<= v3, u1 rang<= = (-3)(-1) + (0)(1) + (0)(0) + (1)(0) = 3 + 0 + 0 + 0 = 3
E lang<= u1, u1 rang<= = 2 (já calculado).
Agora, calculamos lang<= v3, u2 rang<=:
lang<= v3, u2 rang<= = (-3)(-1) + (0)(-1) + (0)(1) + (1)(0) = 3 + 0 + 0 + 0 = 3
E lang<= u2, u2 rang<=:
lang<= u2, u2 rang<= = (-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3
Então:
u3 = v3 - 32 u1 - 33 u2 = (-3, 0, 0, 1) - 32(-1, 1, 0, 0) - 1(-1, -1, 1, 0)
= (-3, 0, 0, 1) + (32, -32, 0, 0) + (1, 1, -1, 0)
= (-3 + 32 + 1, 0 - 32 + 1, 0 + 0 -1, 1 + 0 + 0)
= (-32 + 1, -32 + 1, -1, 1)
= (-12, -12, -1, 1)

Resposta

A base ortogonal para o subespaço W é composta pelos vetores:
u1 = (-1, 1, 0, 0)
u2 = (-1, -1, 1, 0)
u3 = (-12, -12, -1, 1)

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