Seja
o subespaço vetorial de
com as operações usuais.
Considerando o produto interno usual do espaço
, encontre uma base ortogonal para
.
Considerando o produto interno usual do espaço
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial
dentro de
, definido pela equação
. A gente quer encontrar uma base ortogonal para esse espaço usando o produto interno padrão que já conhecemos de
.
Isso significa que precisamos encontrar um conjunto de vetores dentro de
que são mutuamente perpendiculares (ou seja, o produto interno deles é zero) e que geram todo o espaço
. Pra isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como encontrar vetores que satisfazem a equação dada e então aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar uma base para
. A equação
nos dá uma restrição, então podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Agora, podemos expressar os vetores de
em termos das variáveis livres
,
, e
:
Assim, uma base para
é composta pelos vetores:
Passo 3
Agora que temos uma base para
, precisamos transformar essa base em uma base ortogonal. Para isso, vamos utilizar o processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a orthogonalizar um conjunto de vetores.
Vamos começar com
, que já vai ser o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, definimos:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar
de forma que seja ortogonal a
. Usamos a fórmula de Gram-Schmidt:
Primeiro, calculamos o produto interno
:
Agora, calculamos
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que precisa ser ortogonal a
e
. Usamos novamente a fórmula de Gram-Schmidt:
Primeiro, calculamos
:
E
(já calculado).
Agora, calculamos
:
E
:
Então:
Resposta
A base ortogonal para o subespaço
é composta pelos vetores: