Prove que, se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(A B)=det(B A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(AB) = det(BA) . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de matrizes e determinantes, além de usar algumas propriedades importantes dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante ( det ) é uma função que associa uma matriz quadrada a um número escalar. Uma propriedade chave que vamos usar é que para duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
det(AB) = det(A) cdot det(B)

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade tanto para AB quanto para BA :
det(AB) = det(A) cdot det(B)
det(BA) = det(B) cdot det(A)

Passo 4

Observamos que det(A) cdot det(B) é igual a det(B) cdot det(A) porque a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto:
det(AB) = det(A) cdot det(B) = det(B) cdot det(A) = det(BA)

Resposta

Assim, provamos que det(AB) = det(BA) para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem.

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