Seja W=(x, y, z, w) in R^4 mid x+y+2 z+3 w=0 o subespaço vetorial de R^4 com as operações usuais.
Encontre uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço vetorial W dentro de R^4 definido pela equação x + y + 2z + 3w = 0. Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para esse subespaço. Isso significa identificar um conjunto de vetores que são independentes e que conseguem “gerar” todo o espaço W. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que a equação x + y + 2z + 3w = 0 representa. Essa equação define uma relação entre as quatro variáveis x, y, z e w. Nosso objetivo é expressar algumas dessas variáveis em função das outras para conseguir descrever todos os vetores que pertencem a W.

Passo 3

Vamos escolher algumas variáveis como “livres” e resolver a equação para as demais. Digamos que escolhemos z e w como variáveis livres. Isso significa que vamos expressar x e y em termos de z e w.
A equação x + y + 2z + 3w = 0 pode ser rearranjada para:
x + y = -2z - 3w
Agora, podemos resolver para uma das variáveis. Vamos resolver para y:
y = -2z - 3w - x
Mas para simplificar, podemos escolher x também como variável livre ou fixar uma relação. Para facilitar, vamos fixar x em termos de z e w. Vamos expressar x = -y - 2z - 3w. No entanto, para evitar complicações, é melhor expressar uma variável em termos das outras.
Vamos resolver para x:
x = -y - 2z - 3w
Mas nesse ponto, fica mais claro escolher y = s e x = -s - 2z - 3w, onde s é um parâmetro.

Passo 4

Para facilitar, vamos tratar y, z e w como parâmetros livres. Assim, podemos escrever os vetores de W em termos desses parâmetros:
x y z w = - y - 2z - 3w y z w
Podemos reescrever isso separando os parâmetros:
x y z w = y -1 1 0 0 + z -2 0 1 0 + w -3 0 0 1

Passo 5

Agora, vamos identificar os vetores que multiplicam cada parâmetro:
v1 = -1 1 0 0 , v2 = -2 0 1 0 , v3 = -3 0 0 1
Esses três vetores formam um conjunto que gera todo o subespaço W.

Passo 6

Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos se o determinante é diferente de zero ou se o único solução para a combinação linear igual a zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
A matriz formada é:
-1 & -2 & -3 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Observando a estrutura dessa matriz, vemos que as colunas são linearmente independentes porque nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 7

Como os três vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes e geram W, eles formam uma base para W.

Resposta

Uma base para W é dada pelos vetores
-1 1 0 0 , -2 0 1 0 , e -3 0 0 1

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