Seja o subespaço vetorial de com as operações usuais.
Encontre uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço vetorial dentro de definido pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar uma base para esse subespaço. Isso significa identificar um conjunto de vetores que são independentes e que conseguem “gerar” todo o espaço . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que a equação representa. Essa equação define uma relação entre as quatro variáveis , , e . Nosso objetivo é expressar algumas dessas variáveis em função das outras para conseguir descrever todos os vetores que pertencem a .
Passo 3
Vamos escolher algumas variáveis como “livres” e resolver a equação para as demais. Digamos que escolhemos e como variáveis livres. Isso significa que vamos expressar e em termos de e .
A equação pode ser rearranjada para:
Agora, podemos resolver para uma das variáveis. Vamos resolver para :
Mas para simplificar, podemos escolher também como variável livre ou fixar uma relação. Para facilitar, vamos fixar em termos de e . Vamos expressar . No entanto, para evitar complicações, é melhor expressar uma variável em termos das outras.
Vamos resolver para :
Mas nesse ponto, fica mais claro escolher e , onde é um parâmetro.
Passo 4
Para facilitar, vamos tratar , e como parâmetros livres. Assim, podemos escrever os vetores de em termos desses parâmetros:
Podemos reescrever isso separando os parâmetros:
x y z w = y -1 1 0 0 + z -2 0 1 0 + w -3 0 0 1
Passo 5
Agora, vamos identificar os vetores que multiplicam cada parâmetro:
v1 = -1 1 0 0 , v2 = -2 0 1 0 , v3 = -3 0 0 1
Esses três vetores formam um conjunto que gera todo o subespaço W.
Passo 6
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos se o determinante é diferente de zero ou se o único solução para a combinação linear igual a zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
A matriz formada é:
-1 & -2 & -3 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Observando a estrutura dessa matriz, vemos que as colunas são linearmente independentes porque nenhuma coluna pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 7
Como os três vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes e geram W, eles formam uma base para W.