Calcule
, sendo
Passo 1
Temos que calcular a potência
,A^11 de
O conteúdo necessário aqui é usar o polinômio mínimo (ou característico) de
A para reduzir potências altas a combinações lineares de
I ,
A e
A^2 .
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
A . Como
A é triangular por blocos,
Logo
e os autovalores são
-1,1,-2 , todos distintos, o que implica que o polinômio mínimo tem grau 3 e coincide com
chiA .
Passo 3
Do polinômio mínimo
(A+I)(A-I)(A+2I)=0 obtemos a relação
Isso dá uma recorrência para potências maiores: para
n>=3 ,
Passo 4
Pela recorrência, qualquer
A^n pode ser escrito como combinação
Usando as condições iniciais
,A^0=I ,
,A^1=A ,
,A^2=A^2 ,
temos
temos
E a mesma relação linear sobre os coeficientes:
Passo 5
Aplicando a recorrência até
n=11 , obtemos
Logo
Passo 6
Para concluir, calculamos
Então
Somando esses dois termos obtemos