Calcule A^11, sendo
A=[ccc -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2 ]

Passo 1

Temos que calcular a potência ,A^11 de
A= -1 & 7 & -1 0 & 1 & 0 0 & 15 & -2
O conteúdo necessário aqui é usar o polinômio mínimo (ou característico) de A para reduzir potências altas a combinações lineares de I, A e A^2.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Como A é triangular por blocos,
chiA(lambda) =det(A-lambda I) =det -1-lambda & 7 & -1 0 & 1-lambda & 0 0 & 15 & -2-lambda =(! -1-lambda! )l((1-lambda)(-2-lambda)r)
Logo
chiA(lambda)=(lambda+1)(1-lambda)(lambda+2)
e os autovalores são -1,1,-2, todos distintos, o que implica que o polinômio mínimo tem grau 3 e coincide com chiA.

Passo 3

Do polinômio mínimo (A+I)(A-I)(A+2I)=0 obtemos a relação
A^3+2A^2 -A -2I=0 Longrightarrow A^3=-2A^2 +A +2I
Isso dá uma recorrência para potências maiores: para n>=3,
A^n=-2A^n-1+A^n-2+2A^n-3

Passo 4

Pela recorrência, qualquer A^n pode ser escrito como combinação
A^n=an A^2+bn A+cn I
Usando as condições iniciais
,A^0=I, ,A^1=A, ,A^2=A^2,
temos
(a0,b0,c0)=(0,0,1), (a1,b1,c1)=(0,1,0), (a2,b2,c2)=(1,0,0)
E a mesma relação linear sobre os coeficientes:
an=-2an-1+an-2+2an-3, bn=-2bn-1+bn-2+2bn-3, cn=-2cn-1+cn-2+2cn-3

Passo 5

Aplicando a recorrência até n=11, obtemos
(a11,b11,c11) =(-682,,1,,682)
Logo
A^11=-682,A^2+1cdot A+682,I

Passo 6

Para concluir, calculamos
A^2 = 1 & -15 & 3 0 & 1 & 0 0 & -15 & 4
Então
-682A^2 = -682 & 10230 & -2046 0 & -682 & 0 0 & 10230 & -2728 , A+682I = 681 & 7 & -1 0 & 683 & 0 0 & 15 & 680
Somando esses dois termos obtemos

Passo 7

A^11 = -682 & 10230 & -2046 0 & -682 & 0 0 & 10230 & -2728 + 681 & 7 & -1 0 & 683 & 0 0 & 15 & 680 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

Resposta

A^11 = -1 & 10237 & -2047 0 & 1 & 0 0 & 10245 & -2048

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