Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
f(x)=2 \cos x-\frac{x^{2}-9}{x-3}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=2\cos x-\frac{x^{2}-9}{x-3}
é contínua em todo ponto do seu domínio. O tema aqui é usar as propriedades de continuidade: funções constantes, funções polinomiais, cosseno, quociente e soma/diferença de funções contínuas. Primeiro vamos identificar o domínio de f.

Passo 2

A função 2\cos x é contínua para todo x\in\mathbb{R} porque:
  • \cos x é contínua em \mathbb{R}.
  • A multiplicação por 2 (constante) mantém a continuidade.
    Logo,
x\mapsto 2\cos x
é contínua em \mathbb{R}.

Passo 3

A função
x\mapsto \frac{x^{2}-9}{x-3}
é um quociente de duas funções polinomiais: o numerador x^2-9 e o denominador x-3. Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. O quociente é contínuo em todos os x onde o denominador não se anula, ou seja, para x\neq3. Observe também que
x^2-9=(x-3)(x+3),
mas isso serve só para simplificar — a garantia de continuidade vem da regra do quociente, válida em \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 4

Agora, f(x) é a diferença entre duas funções contínuas nos pontos em que ambas estão definidas. O primeiro termo 2\cos x é contínuo em \mathbb{R} e o segundo termo \frac{x^2-9}{x-3} é contínuo em \mathbb{R}\setminus\{3\}. A diferença de funções contínuas é contínua no domínio comum, que é
\mathbb{R}\setminus\{3\}.

Resposta

A função
f(x)=2\cos x-\frac{x^{2}-9}{x-3}
é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}\setminus\{3\}.

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