Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
f(x)=\log _{2}(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\log_{2}(x-1)
é contínua em seu domínio, usando as propriedades de continuidade. O conteúdo envolvido é continuidade e composição de funções. Vamos precisar saber que funções polinomiais são contínuas em todo lugar, que a função logaritmo natural é contínua em (0,\infty) e que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como o logaritmo exige argumento positivo, temos
x-1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>1.
Logo o domínio de f é (1,\infty).

Passo 3

Considere as funções
g(x)=x-1 \quad\text{e}\quad h(u)=\log_{2}(u).
A função g é polinomial (grau 1), portanto contínua em \mathbb{R}. Já h é um logaritmo de base 2, que podemos escrever usando mudança de base:
h(u)=\frac{\ln(u)}{\ln(2)}.
Como \ln(u) é contínua em (0,\infty) e \ln(2) é constante não nula, segue que h é contínua em (0,\infty).

Passo 4

A função f é a composição
f(x) = h\bigl(g(x)\bigr).
De fato, g(x) mapeia (1,\infty) em (0,\infty), que é o domínio de h. Pela propriedade de que a composição de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua em todos os x tais que x>1.

Resposta

A função f(x)=\log_{2}(x-1) é contínua em seu domínio (1,\infty) por ser composição de funções contínuas.

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