Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
f(x)=\frac{4 x^{2}+5 x-6}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função
f(x)=\frac{4x^{2}+5x-6}{x^{2}-4}
é contínua em todo ponto de seu domínio, usando as propriedades de continuidade de soma, produto e quociente.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero, temos
x^{2}-4\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq2,\;x\neq-2.
Logo
\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Passo 3

Sabemos que qualquer polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Em particular, as funções
p(x)=4x^{2}+5x-6 \quad\text{e}\quad q(x)=x^{2}-4
são contínuas em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Pela propriedade de soma e de produto de funções contínuas, concluímos que p(x) e q(x) continuam contínuas em qualquer ponto de \mathbb{R}.

Passo 5

Finalmente, pela propriedade de quociente, o quociente
f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}
é contínuo em todo ponto onde q(x)\neq0, ou seja, em todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Resposta

A função f(x) é contínua em \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}, pois é o quociente de dois polinômios (contínuos em \mathbb{R}) com denominador não nulo em seu domínio.

Exercícios relacionados