Em cada item, use a regra da cadeia para calcular
(escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de
).
.
Passo 1
Então, galera, a gente tem um problema de cálculo aqui que envolve derivadas parciais e a regra da cadeia. A função que a gente quer derivar em relação ao tempo $ t $ é $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + 2y} $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de $ t $, sendo $ x(t) = e^{t} $ e $ y(t) = e^{-t} $. Vamos usar a regra da cadeia para achar $ \frac{df}{dt} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidamente a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ f $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $, então a derivada de $ f $ em relação a $ t $ é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A função é:
Para achar $ \frac{\partial f}{\partial x} $, tratamos $ y $ como constante:
Agora, para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
Passo 5
Vamos juntar tudo na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ x(t) = e^{t} $ e $ y(t) = e^{-t} $:
Sabemos que $ e^{-t} \cdot e^{t} = 1 $, então:
Resposta
A derivada de $ f $ em relação a $ t $ é: