Em cada item, use a regra da cadeia para calcular df / dt (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t).
f(x, y)=x-yx+2 y, x(t)=e^t, y(t)=e^-t.

Passo 1

Então, galera, a gente tem um problema de cálculo aqui que envolve derivadas parciais e a regra da cadeia. A função que a gente quer derivar em relação ao tempo $ t $ é $ f(x, y) = \frac{x - y}{x + 2y} $, onde $ x $ e $ y $ também dependem de $ t $, sendo $ x(t) = e^{t} $ e $ y(t) = e^{-t} $. Vamos usar a regra da cadeia para achar $ \frac{df}{dt} $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidamente a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ f $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $, então a derivada de $ f $ em relação a $ t $ é:
f

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. A função é:
f
Para achar $ \frac{\partial f}{\partial x} $, tratamos $ y $ como constante:
x
Agora, para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)

Passo 5

Vamos juntar tudo na fórmula da regra da cadeia:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Substituindo os valores que encontramos:
dfdt = ( 3y(x + 2y)^2 ) cdot e^t + ( -3x(x + 2y)^2 ) cdot (-e^-t)

Passo 6

Simplificando a expressão:
dfdt = 3y cdot e^t + 3x cdot e^-t(x + 2y)^2

Passo 7

Agora, vamos substituir $ x(t) = e^{t} $ e $ y(t) = e^{-t} $:
x(t) = e^t
Sabemos que $ e^{-t} \cdot e^{t} = 1 $, então:
y(t) = e^-t

Resposta

A derivada de $ f $ em relação a $ t $ é:
f

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