Cada limite representa a derivada de alguma função
em algum número
. Estabeleça
em cada caso.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um limite que representa a derivada de uma função $ f $ num ponto específico $ a $. Nosso objetivo é descobrir qual é $ f’(a) $ usando esse limite. A função envolvida na expressão é $ f(x) = x^3 $ e o ponto $ a $ é 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma derivada usando o limite da diferença.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa derivada. A derivada de uma função em um ponto $ a $, representada por $ f’(a) $, é a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto. Matemáticamente, isso é calculado pelo limite:
No nosso caso, $ f(x) = x^3 $ e $ a = 2 $, então precisamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Vamos substituir $ f(a+h) $ e $ f(a) $ na expressão do limite:
Isso fica exatamente igual ao que foi dado no exercício:
Passo 4
Agora, vamos expandir
para simplificar a expressão. Usando a fórmula do cubo da soma:
Substituindo isso na expressão original:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por $ h $:
Agora, a expressão está mais simples para calcular o limite quando $ h $ se aproxima de 0.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0:
Portanto, a derivada de $ f $ no ponto $ a = 2 $ é 12.
Resposta
$ f’(2) = 12 $