Cada limite representa a derivada de alguma função f em algum número a. Estabeleça f^prime(a) em cada caso.
lim h 0 (2+h)^3-8h

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um limite que representa a derivada de uma função $ f $ num ponto específico $ a $. Nosso objetivo é descobrir qual é $ f’(a) $ usando esse limite. A função envolvida na expressão é $ f(x) = x^3 $ e o ponto $ a $ é 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular uma derivada usando o limite da diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa derivada. A derivada de uma função em um ponto $ a $, representada por $ f’(a) $, é a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto. Matemáticamente, isso é calculado pelo limite:
a
No nosso caso, $ f(x) = x^3 $ e $ a = 2 $, então precisamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Vamos substituir $ f(a+h) $ e $ f(a) $ na expressão do limite:
f(a+h)
Isso fica exatamente igual ao que foi dado no exercício:
f(a)

Passo 4

Agora, vamos expandir (2+h)^3 para simplificar a expressão. Usando a fórmula do cubo da soma:
(2+h)^3 = 2^3 + 3 cdot 2^2 cdot h + 3 cdot 2 cdot h^2 + h^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3
Substituindo isso na expressão original:
(2+h)^3 - 8h = 8 + 12h + 6h^2 + h^3 - 8h = 12h + 6h^2 + h^3h

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por $ h $:
h
Agora, a expressão está mais simples para calcular o limite quando $ h $ se aproxima de 0.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando $ h $ tende a 0:
h
Portanto, a derivada de $ f $ no ponto $ a = 2 $ é 12.

Resposta

$ f’(2) = 12 $

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