Em cada item, use o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral ∬_{S} \vec{F} ". d \vec{S}. Em todos os itens, utilize a orientação de S com vetor normal apontando para fora da regiấo limitada por S.
\vec{F}(x, y, z)=\left(x y e^{z}, x y^{2} z^{3},-y e^{z}\right) e S é a superfície do paralelepípedo 0,3] \times[0,2] \times[0,1]\).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}
onde \vec{F}(x,y,z)=(x y e^{z},\,x y^{2}z^{3},\,-y e^{z}) e S é a superfície do paralelepípedo
V = [0,3]\times[0,2]\times[0,1]
com orientação para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência de Gauss, que diz
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x y e^{z}) + \frac{\partial}{\partial y}(x y^{2}z^{3}) + \frac{\partial}{\partial z}(-y e^{z}).
Derivando cada termo, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(x y e^{z}) = y e^{z}, \quad \frac{\partial}{\partial y}(x y^{2}z^{3}) = 2\,x y z^{3}, \quad \frac{\partial}{\partial z}(-y e^{z}) = -y e^{z}.
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\nabla\cdot\vec{F} = y e^{z} + 2\,x y z^{3} - y e^{z} = 2\,x y z^{3}.

Passo 3

A integral de superfície vira a tripla integral
\iiint_{V}2\,x y z^{3}\,dV = \int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{1}2\,x y z^{3}\,dz\,dy\,dx.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{1}2\,x y z^{3}\,dz =2\,x y\left[\frac{z^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\tfrac12\,x y.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{2}\frac12\,x y\,dy =\frac{x}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =\frac{x}{2}\cdot2 = x.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{3}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =\frac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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