Resolva o problema de valor de contorno dado.
y^{\prime \prime}+3 y=6 x, \quad y(0)+y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
y'' + 3y = 6x,
com a condição
y(0) + y'(0) = 0.
O conteúdo é solução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da parte homogênea e em seguida uma solução particular.
A parte homogênea é
y_h'' + 3y_h = 0,
cuja equação característica é \lambda^2 + 3 = 0, com raízes \lambda = \pm i\sqrt{3}. Logo
y_h(x) = C_1\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr).
Para achar uma solução particular y_p, tentamos y_p(x)=ax+b. Então
y_p''=0,\quad 3y_p=3(ax+b)
e a equação exige
3(ax+b)=6x\;\Longrightarrow\;3a=6,\;3b=0\;\Longrightarrow\;a=2,\;b=0.
Portanto
y_p(x)=2x.
Assim a solução geral é
y(x)=C_1\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+2x.

Passo 3

Calculamos agora y(0) e y'(0).
y(0)=C_1\cdot1 + C_2\cdot0 + 2\cdot0 = C_1,
e derivando
y'(x) = -C_1\sqrt{3}\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+C_2\sqrt{3}\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr)+2,
logo
y'(0) = -C_1\sqrt{3}\cdot0 + C_2\sqrt{3}\cdot1 + 2 = C_2\sqrt{3} + 2.

Passo 4

Aplicando a condição y(0)+y'(0)=0, obtemos
C_1 + \bigl(C_2\sqrt{3}+2\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\,C_2\sqrt{3}\;-\;2.

Passo 5

Substituindo C_1 na solução geral e deixando C_2 como parâmetro livre (que chamamos de C), resulta
y(x) = \bigl(-C\sqrt{3}-2\bigr)\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + C\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + 2x.

Resposta

\boxed{y(x) = \bigl(-C\sqrt{3}-2\bigr)\cos\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + C\sin\bigl(\sqrt{3}x\bigr) + 2x,}
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados