Resolva o problema de valor de contorno dado.
y^{\prime \prime}+3 y=6 x, \quad y(0)=0 \quad y(1)+y^{\prime}(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y'' + 3y = 6x
com as condições de contorno
y(0)=0,\quad y(1)+y'(1)=0.
Vamos resolver encontrando a solução geral (parte homogênea + particular) e depois aplicar as condições para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, a solução da equação homogênea
y''+3y=0
vem da equação característica r^2+3=0, cujas raízes são
r=\pm i\sqrt{3}.
Logo a parte homogênea é
y_h(x)=A\cos(\sqrt{3}\,x)+B\sin(\sqrt{3}\,x).

Passo 3

Para uma solução particular y_p da forma polinomial de grau 1, tentamos
y_p(x)=\alpha x+\beta.
Então
y_p''=0,\quad 3y_p=3(\alpha x+\beta),
e a EDO exige
0+3(\alpha x+\beta)=6x\;\Longrightarrow\;3\alpha x+3\beta=6x.
Igualando coeficientes, obtemos \alpha=2 e \beta=0. Assim
y_p(x)=2x.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =A\cos(\sqrt{3}\,x)+B\sin(\sqrt{3}\,x)+2x.

Passo 5

Impondo y(0)=0, temos
y(0)=A\cos0+B\sin0+2\cdot0=A=0.
Logo A=0 e
y(x)=B\sin(\sqrt{3}\,x)+2x.

Passo 6

Calculamos a derivada
y'(x)=B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}\,x)+2.

Passo 7

A condição y(1)+y'(1)=0 fica
\bigl[B\sin(\sqrt{3})+2\cdot1\bigr]+\bigl[B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3})+2\bigr]=0,
ou seja
B\bigl[\sin(\sqrt{3})+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3})\bigr]+4=0 \;\Longrightarrow\; B=-\frac{4}{\sin(\sqrt{3})+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3})}.

Resposta

A solução do problema de contorno é
\boxed{y(x)=-\frac{4}{\sin(\sqrt{3})+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3})}\,\sin(\sqrt{3}\,x)+2x.}

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