Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do cilindro x^2+y^2=1 que está entre os planos z=0 e z=1+x.

Passo 1

O enunciado pede a parte do cilindro x^2+y^2=1 situada entre os planos z=0 e z=1+x. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Nesse sistema, o cilindro x^2+y^2=1 corresponde a r=1.

Passo 2

Como r=1, as variáveis livres serão theta e z. O plano inferior z=0 fixa o valor mínimo de z em 0. O plano superior z=1+x em coordenadas cilíndricas fica
z = 1 + rcostheta = 1 + costheta
pois r=1. Logo, para cada theta temos
0 <= z <= 1 + costheta

Passo 3

Definimos a parametrização r(theta,z) usando theta e z como parâmetros:
r(theta,z) = l(rcostheta,;rsintheta,;zr) = l(costheta,;sintheta,;zr),
com domínio
0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 1 + costheta

Resposta

r(theta,z) = (costheta,;sintheta,;z), 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 1 + costheta

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