Let Gepsilon(t)=1 / epsilon for 0 <=q t<epsilon, 0 for epsilon <=q t<2 epsilon,-1 / epsilon for 2 epsilon <=q t<3 epsilon, and 0 for t >=q 3 epsilon. Is lim epsilon 0 LGepsilon(t)=Llim epsilon 0 Gepsilon(t)?

Passo 1

O enunciado define a família de funções
Gepsilon(t)= dfrac1epsilon, & 0<= t<epsilon,[6pt] 0, & epsilon<= t<2epsilon,[6pt] -dfrac1epsilon, & 2epsilon<= t<3epsilon,[6pt] 0, & t>=3epsilon,
e pergunta se vale
limepsilonto0 LGepsilon(t) = Lllimepsilonto0Gepsilon(t)r
O conteúdo necessário é entender convergência pontual de Gepsilon e calcular LGepsilon antes e depois do limite.]

Passo 2

Vamos achar a convergência pontual de Gepsilon(t). Para qualquer t>0, basta escolher epsilon<t/3. Então t>=3epsilon e Gepsilon(t)=0. Logo, para todo t>0
limepsilonto0Gepsilon(t)=0
No ponto t=0 há oscilações, mas isso não afeta a transformada de Laplace, pois é um conjunto de medida zero. Assim, a função limite é
G(t)equiv0

Passo 3

Agora calculamos a transformada de Laplace de Gepsilon(t):
LGepsilon(s) =integral0^inftyGepsilon(t)e^-st,dt =integral0^epsilon1epsilone^-st,dt -integral2epsilon^3epsilon1epsilone^-st,dt
Cada integral é
integral0^epsilone^-st,dt=1-e^-sepsilons, integral2epsilon^3epsilone^-st,dt =e^-2sepsilon-e^-3sepsilons
Portanto
LGepsilon(s) =1epsilon sl(1-e^-sepsilon-l(e^-2sepsilon-e^-3sepsilonr)r)

Passo 4

Para ver o limite epsilonto0, podemos expandir em série de Taylor ou notar que
1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilon =O(epsilon^2)
De fato, a expansão dá
1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilon =2s^2epsilon^2+O(epsilon^3),
e assim
LGepsilon(s) =2s^2epsilon^2+O(epsilon^3)epsilon s =2sepsilon+O(epsilon^2);longrightarrow;0
Logo
limepsilonto0 LGepsilon(t)=0

Passo 5

A transformada de Laplace da função limite G(t)equiv0 é imediatamente
LG(s) =integral0^infty0cdot e^-st,dt =0

Resposta

Sim. Tanto
limepsilonto0 LGepsilon(t)=0
quanto
Llimepsilonto0Gepsilon(t)=0.

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