Dado
e
. Mostre que o polinômio:
Possui, no máximo, duas raízes reais.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio dado por
, onde
é um número natural maior que 2. O objetivo aqui é mostrar que esse polinômio tem, no máximo, duas raízes reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de funções polinomiais e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real de um polinômio. Uma raiz real é um valor de
que faz o polinômio igual a zero:
. Nosso objetivo é provar que existem no máximo duas soluções reais para essa equação.
Passo 3
Para investigar quantas raízes reais o polinômio pode ter, vamos olhar para a sua derivada primeira, que nos ajuda a entender o comportamento da função, como onde ela está aumentando ou diminuindo, e onde tem máximos e mínimos locais.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos simplificar a derivada para facilitar nossa análise:
Agora, a expressão dentro dos parênteses é um polinômio quadrático:
Passo 5
Vamos analisar as raízes de
usando o discriminante
do polinômio quadrático:
Simplificando:
Passo 6
Para que
tenha raízes reais, precisamos que
:
Resolvendo essa inequação, vemos que para
, o discriminante
é sempre negativo, o que significa que
não tem raízes reais.
Passo 7
Como
não tem raízes reais, a derivada
muda de sinal apenas uma vez ou não muda, dependendo de
. Isso implica que a função
tem no máximo duas raízes reais, pois não há pontos de inflexão adicionais que permitam mais raízes reais.
Resposta
Portanto, o polinômio
possui, no máximo, duas raízes reais.