Dado n in N e n>2. Mostre que o polinômio:
Pn(x)=x^n-x^n-1+2 x^n-2+3
Possui, no máximo, duas raízes reais.

Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),…:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio dado por Pn(x) = x^n - x^n-1 + 2x^n-2 + 3 , onde n é um número natural maior que 2. O objetivo aqui é mostrar que esse polinômio tem, no máximo, duas raízes reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de funções polinomiais e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real de um polinômio. Uma raiz real é um valor de x que faz o polinômio igual a zero: Pn(x) = 0 . Nosso objetivo é provar que existem no máximo duas soluções reais para essa equação.

Passo 3

Para investigar quantas raízes reais o polinômio pode ter, vamos olhar para a sua derivada primeira, que nos ajuda a entender o comportamento da função, como onde ela está aumentando ou diminuindo, e onde tem máximos e mínimos locais.
A derivada de Pn(x) é:
Pn'(x) = n x^n-1 - (n-1) x^n-2 + 2(n-2) x^n-3

Passo 4

Vamos simplificar a derivada para facilitar nossa análise:
Pn'(x) = x^n-3 ( n x^2 - (n-1) x + 2(n-2) )
Agora, a expressão dentro dos parênteses é um polinômio quadrático:
Q(x) = n x^2 - (n-1) x + 2(n-2)

Passo 5

Vamos analisar as raízes de Q(x) usando o discriminante De<a do polinômio quadrático:
De<a = b^2 - 4ac = [-(n-1)]^2 - 4 cdot n cdot 2(n-2)
De<a = (n-1)^2 - 8n(n-2)
Simplificando:
De<a = n^2 - 2n + 1 - 8n^2 + 16n = -7n^2 + 14n + 1

Passo 6

Para que Q(x) tenha raízes reais, precisamos que De<a >= 0 :
-7n^2 + 14n + 1 >= 0
Resolvendo essa inequação, vemos que para n > 2 , o discriminante De<a é sempre negativo, o que significa que Q(x) não tem raízes reais.

Passo 7

Como Q(x) não tem raízes reais, a derivada Pn'(x) muda de sinal apenas uma vez ou não muda, dependendo de x^n-3 . Isso implica que a função Pn(x) tem no máximo duas raízes reais, pois não há pontos de inflexão adicionais que permitam mais raízes reais.

Resposta

Portanto, o polinômio Pn(x) = x^n - x^n-1 + 2x^n-2 + 3 possui, no máximo, duas raízes reais.

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