Let
for
for
for
, and 0 for
. Find
.
Passo 1
O enunciado define a função em pedaços
e pede o limite, quando
epsilonto0 , da transformada de Laplace
LGepsilon(t)(s)=integral0^inftye^-stGepsilon(t),dt .]
Passo 2
Separamos a integral nas regiões onde
Gepsilon(t) é não nula, isto é, de
0 a
epsilon e de
2epsilon a
3epsilon :
Calculamos cada parte usando
integrala^be^-stdt=e^-sa-e^-sbs .
Passo 3
Aplicando a fórmula obtemos
Passo 4
Para estudar o limite
epsilonto0 usamos a expansão de Taylor em torno de
epsilon=0 :
Substituindo em
1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilon e cancelando termos até a ordem
epsilon , obtemos
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Passo 5
Como
epsilonto0 faz
2,s,epsilon+O(epsilon^2)to0 , concluímos que