Let Gepsilon(t)=1 / epsilon for 0 <=q t<epsilon, 0 for epsilon <=q t<2 epsilon,-1 / epsilon for 2 epsilon <=q t<3 epsilon, and 0 for t >=q 3 epsilon. Find lim epsilon 0 LGepsilon(t).

Passo 1

O enunciado define a função em pedaços
Gepsilon(t)= dfrac1epsilon,&0<= t<epsilon,[0.5em] 0,&epsilon<= t<2epsilon,[0.5em] -dfrac1epsilon,&2epsilon<= t<3epsilon,[0.5em] 0,&t>=3epsilon,
e pede o limite, quando epsilonto0, da transformada de Laplace
LGepsilon(t)(s)=integral0^inftye^-stGepsilon(t),dt.]

Passo 2

Separamos a integral nas regiões onde Gepsilon(t) é não nula, isto é, de 0 a epsilon e de 2epsilon a 3epsilon:
LGepsilon(s) =integral0^epsilon1epsilone^-stdt +integral2epsilon^3epsilon!l(-tfrac1epsilonr)e^-stdt
Calculamos cada parte usando
integrala^be^-stdt=e^-sa-e^-sbs.

Passo 3

Aplicando a fórmula obtemos
LGepsilon(s) =1epsilon,1-e^-sepsilons -1epsilon,e^-2sepsilon-e^-3sepsilons =1s,epsilonl(1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilonr)

Passo 4

Para estudar o limite epsilonto0 usamos a expansão de Taylor em torno de epsilon=0:
e^-k,sepsilon=1-k,sepsilon+tfrac(k,sepsilon)^22-tfrac(k,sepsilon)^36+cdots
Substituindo em 1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilon e cancelando termos até a ordem epsilon, obtemos
1-e^-sepsilon-e^-2sepsilon+e^-3sepsilon =2,s^2epsilon^2+O(epsilon^3)
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LGepsilon(s) =1s,epsilonl(2,s^2epsilon^2+O(epsilon^3)r) =2,s,epsilon+O(epsilon^2)

Passo 5

Como epsilonto0 faz 2,s,epsilon+O(epsilon^2)to0, concluímos que
limepsilonto0LGepsilon(t)(s)=0

Resposta

0

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