Let Gepsilon(t)=1 / epsilon for 0 <=q t<epsilon, 0 for epsilon <=q t<2 epsilon,-1 / epsilon for 2 epsilon <=q t<3 epsilon, and 0 for t >=q 3 epsilon. Find LGepsilon(t).

Passo 1

O enunciado define a função em pedaços
Gepsilon(t)= 1epsilon,&0<= t<epsilon,[6pt] 0,&epsilon<= t<2epsilon,[6pt] -1epsilon,&2epsilon<= t<3epsilon,[6pt] 0,&t>=3epsilon,
e pede a transformada de Laplace
LGepsilon(t)(s) =integral0^inftye^-stGepsilon(t),dt
Para resolver vamos usar a definição de transformada e somar as integrais nos intervalos em que Gepsilon(t)neq0.]

Passo 2

Calcular a contribuição do primeiro trecho 0<= t<epsilon, onde Gepsilon(t)=tfrac1epsilon:
I1=integral0^epsilone^-st1epsilon,dt =1epsilonintegral0^epsilone^-st,dt =1epsilongl[1-e^-sepsilonsgr] =1-e^-sepsilonepsilon,s

Passo 3

Calcular a contribuição do segundo trecho não nulo 2epsilon<= t<3epsilon, onde Gepsilon(t)=-tfrac1epsilon:
I2=integral2epsilon^3epsilone^-stl(-1epsilonr),dt =-1epsilonintegral2epsilon^3epsilone^-st,dt =-1epsilongl[e^-2sepsilon-e^-3sepsilonsgr] =-e^-2sepsilon-e^-3sepsilonepsilon,s

Passo 4

Somamos as duas contribuições I1+I2:
LGepsilon(s) =1-e^-sepsilonepsilon,s -e^-2sepsilon-e^-3sepsilonepsilon,s =1 - e^-sepsilon - e^-2sepsilon + e^-3sepsilonepsilon,s
Observe que o numerador fatoriza como
1 - e^-sepsilon - e^-2sepsilon + e^-3sepsilon =(1-e^-sepsilon)(1-e^-2sepsilon)

Resposta

LGepsilon(t)(s) =1 - e^-sepsilon - e^-2sepsilon + e^-3sepsilonepsilon,s =(1-e^-sepsilon)(1-e^-2sepsilon)epsilon,s

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