Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte do paraboloide y=x^2+z^2 que está dentro do cilindro x^2+z^2=16.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da parte do paraboloide
y = x^2 + z^2
que está dentro do cilindro
x^2 + z^2 = 16
O conteúdo aqui é parametrização de superfícies via coordenadas cilíndricas, onde usamos
x = rcostheta, z = rsintheta

Passo 2

Substituímos x e z em y=x^2+z^2. Em coordenadas cilíndricas temos
y = (rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Logo a parametrização em termos de (r,theta) é
X(r,theta) = l(rcostheta,;r^2,;rsinthetar)

Passo 3

O cilindro x^2+z^2=16 em coordenadas cilíndricas vira r^2=16, ou seja r=4. Como queremos toda a parte interna, tomamos
0 <= r <= 4, 0 <= theta < 2pi

Resposta

A parametrização da superfície é
X(r,theta) = l(rcostheta,;r^2,;rsinthetar),
com 0 <= r <= 4 e 0 <= theta < 2pi.

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