Generalize Problem 127 by defining a function Gepsilon(t) in terms of epsilon and n so that lim epsilon 0 Gepsilon(t)=s^n where n=2,3,4, ldots

Passo 1

O enunciado pede uma família de funções
e queremos
Para isso vamos usar uma regularização clássica de .

Passo 2

Lembramos que
traizt^2+epsilon^2
é uma aproximação suave de s(t), pois para t>0 temos
traizt^2+epsilon^2longrightarrow1,
e para t<0
traizt^2+epsilon^2longrightarrow-1
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limepsilonto0traizt^2+epsilon^2=s(t)

Passo 3

Para atender ao enunciado, elevamos essa regularização a n. Definimos portanto
Gepsilon(t) =l(traizt^2+epsilon^2r)^n =t^n(,t^2+epsilon^2,)^tfrac n2
Vamos checar o limite:

Passo 4

Se t>0, então para epsilonto0 temos tfractraizt^2+epsilon^2to1, daí
Gepsilon(t)longrightarrow1^n=1 =s(t)^n
Se t<0, então tfractraizt^2+epsilon^2to-1, daí
Gepsilon(t)longrightarrow(-1)^n=s(t)^n
Em t=0 a função não é contínua, mas o limite lateral também satisfaz a mesma regra.

Resposta

Gepsilon(t) =l(traizt^2+epsilon^2r)^n,
pois satisfaz
limepsilonto0Gepsilon(t)=s(t)^n,
para todo inteiro n>=2.

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