Seja
definida por
, quando
. Mostre que
é integrável em
e:
Passo 1
O enunciado define uma função
Queremos mostrar que e que
O conteúdo aqui é o critério de integrabilidade de Riemann usando somas superior e inferior, e o fato de que um valor isolado em um ponto não afeta o valor da integral.
Passo 2
Para lembrar,
é integrável se, para todo
, existe uma partição
de
tal que
onde
com
e
. Aqui só há “problema” de supremum e ínfimum no pedaço que contém
; nos demais
é constante igual a
.
Passo 3
Dado
, se
então
é constante e fica trivial; suponha
. Defina
Considere a partição
No subintervalo
vale
enquanto em
temos
. Portanto
Subtraindo,
Isso mostra
integrável.
Passo 4
Como em qualquer partição refinada o excesso
vai a zero, as somas inferiores e superiores convergem para o mesmo valor. Observando ainda que, à medida que
, tanto
quanto
tendem a
concluímos que