Seja f:[a, b] R definida por f(x)=c, quando a<x <= b ef(a)=A. Mostre que f é integrável em [a, b] e:
integrala^b f(x) d x=c(b-a)

Passo 1

O enunciado define uma função
Queremos mostrar que e que
O conteúdo aqui é o critério de integrabilidade de Riemann usando somas superior e inferior, e o fato de que um valor isolado em um ponto não afeta o valor da integral.

Passo 2

Para lembrar, f é integrável se, para todo varepsilon>0, existe uma partição P de [a,b] tal que
U(f,P) - L(f,P) < varepsilon,
onde
U(f,P)=sumi=1^nMi,(xi-xi-1), L(f,P)=sumi=1^nmi,(xi-xi-1),
com Mi=sup[xi-1,xi]f e mi=inf[xi-1,xi]f. Aqui só há “problema” de supremum e ínfimum no pedaço que contém x=a; nos demais f é constante igual a c.

Passo 3

Dado varepsilon>0, se A=c então f é constante e fica trivial; suponha Aneq c. Defina
de<a = varepsilon|A-c|
Considere a partição
P=,a,;a+de<a,;b
No subintervalo [a,a+de<a] vale
sup f = maxA,c, inf f = minA,c,
enquanto em [a+de<a,b] temos sup f=inf f=c. Portanto
U(f,P) =maxA,c,de<a ;+;c,(b-a-de<a),
L(f,P) =minA,c,de<a ;+;c,(b-a-de<a)
Subtraindo,
U(f,P)-L(f,P) =l(maxA,c-minA,cr),de<a =|A-c|,de<a <varepsilon
Isso mostra f integrável.

Passo 4

Como em qualquer partição refinada o excesso U(f,P)-L(f,P) vai a zero, as somas inferiores e superiores convergem para o mesmo valor. Observando ainda que, à medida que de<ato0, tanto L(f,P) quanto U(f,P) tendem a
c,(b-a),
concluímos que
integrala^bf(x),dx = c,(b-a)

Resposta

integrala^bf(x),dx = c,(b-a)

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