Seja
uma função contínua e limitada no intervalo
. Sabendo que
, mostre que:
é integrável no intervalo
.
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), … :
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), … :
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e limitada em
e que
. Queremos mostrar que
é integrável (no sentido de Riemann) em
. O conteúdo que vamos usar é o critério de Riemann para integrabilidade:
é integrável se, para todo
, existe uma partição
de
tal que
onde
e
,
.
Passo 2
Como
é contínua em
, ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado. Portanto, dado
, existe
tal que
Passo 3
Escolhemos uma partição
cujo diâmetro
seja menor que
. Em cada subintervalo
a oscilação de
satisfaz
Passo 4
Agora calculamos a diferença entre a soma superior e a inferior em
:
Passo 5
Como mostramos que, para todo
, existe
tal que
, concluímos que
é integrável em
.