Seja f uma função contínua e limitada no intervalo [a, b]. Sabendo que f(a)=0, mostre que:
f é integrável no intervalo [a, b].
Solução de Nome (matricula), Nome (matricula), … :

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua e limitada em [a,b] e que f(a)=0. Queremos mostrar que f é integrável (no sentido de Riemann) em [a,b]. O conteúdo que vamos usar é o critério de Riemann para integrabilidade: f é integrável se, para todo varepsilon>0, existe uma partição P de [a,b] tal que
U(f,P)-L(f,P)<varepsilon,
onde
U(f,P)=sumi=1^n Mi,(xi-xi-1), L(f,P)=sumi=1^n mi,(xi-xi-1),
e Mi=sup[xi-1,xi]f, mi=inf[xi-1,xi]f.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], ela é uniformemente contínua nesse intervalo fechado. Portanto, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-y|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilonb-a

Passo 3

Escolhemos uma partição P=x0=a<x1<cdots<xn=b cujo diâmetro
max1<= i<= n(xi-xi-1)
seja menor que de<a. Em cada subintervalo [xi-1,xi] a oscilação de f satisfaz
Mi - mi = sup[xi-1,xi]f - inf[xi-1,xi]f < varepsilonb-a

Passo 4

Agora calculamos a diferença entre a soma superior e a inferior em P:
U(f,P)-L(f,P) =sumi=1^n (Mi-mi),(xi-xi-1) <sumi=1^n varepsilonb-a,(xi-xi-1) =varepsilonb-a,(b-a) =varepsilon

Passo 5

Como mostramos que, para todo varepsilon>0, existe P tal que U(f,P)-L(f,P)<varepsilon, concluímos que f é integrável em [a,b].

Resposta

f é integrável no intervalo [a,b].

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