Prove que se f é uma função integrável num intervalo [a, b], então f é contínua em algum ponto de [a, b]

Passo 1

O enunciado diz que f é integrável (no sentido de Riemann) em [a,b] e pede para mostrar que existe pelo menos um ponto cin[a,b] em que f é contínua.
Conteúdo necessário: definição de integrabilidade via somas superior e inferior e definição de continuidade em um ponto.

Passo 2

Seja eta>0 arbitrário. Como f é integrável em [a,b], existe uma partição
P: a=x0<x1<cdots<xn=b
tal que, chamando
Mi=sup[xi-1,xi]f, mi=inf[xi-1,xi]f, De<a xi=xi-xi-1,
temos
U(f,P)-L(f,P) =sumi=1^n(Mi-mi),De<a xi <(b-a),eta

Passo 3

Suponha, para obter contradição, que para todo i valha
Mi-mi>= eta
Então
sumi=1^n(Mi-mi),De<a xi >= sumi=1^neta,De<a xi =etasumi=1^nDe<a xi =eta,(b-a),
o que contraria a desigualdade do passo anterior. Logo existe pelo menos um índice j tal que
Mj-mj<eta

Passo 4

Escolha qualquer ponto
cin[xj-1,xj]
Então, para todo xin[xj-1,xj], tem-se
mj<= f(x)<= Mj e mj<= f(c)<= Mj,
logo
|f(x)-f(c)|<= Mj-mj<eta
Basta agora tomar
de<a=min(c-xj-1,,xj-c)>0
para que, sempre que |x-c|<de<a, tenhamos xin[xj-1,xj] e portanto |f(x)-f(c)|<eta. Isso mostra que f é contínua em c.

Resposta

Fica provado que existe pelo menos um ponto cin[a,b] em que f é contínua.

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