Prove que se
é uma função integrável num intervalo
, então
é contínua em algum ponto de
Passo 1
O enunciado diz que
é integrável (no sentido de Riemann) em
e pede para mostrar que existe pelo menos um ponto
em que
é contínua.
Conteúdo necessário: definição de integrabilidade via somas superior e inferior e definição de continuidade em um ponto.
Conteúdo necessário: definição de integrabilidade via somas superior e inferior e definição de continuidade em um ponto.
Passo 2
Seja
arbitrário. Como
é integrável em
, existe uma partição
tal que, chamando
temos
Passo 3
Suponha, para obter contradição, que para todo
valha
Então
o que contraria a desigualdade do passo anterior. Logo existe pelo menos um índice
tal que
Passo 4
Escolha qualquer ponto
Então, para todo
, tem-se
logo
Basta agora tomar
para que, sempre que
, tenhamos
e portanto
. Isso mostra que
é contínua em
.
Resposta
Fica provado que existe pelo menos um ponto
em que
é contínua.