Em cada item, utilize coordenadas cilíndricas para determinar uma parametrização para a superfície descrita.
A parte da superfície z=x y que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a porção da superfície
z = x,y
que está dentro do cilindro
x^2 + y^2 = 1
Usaremos coordenadas cilíndricas, onde todo ponto no espaço é dado por
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e a condição do cilindro vira simplesmente 0 <= r <= 1.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
z = x,y = l(rcosthetar)l(rsinthetar) = r^2costhetasintheta
Para simplificar, note que
costhetasintheta = tfrac12sin(2theta),
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z = tfracr^22,sin(2theta)

Passo 3

Assim uma parametrização conveniente é
Phi(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;tfracr^22sin(2theta)r),
com os parâmetros variando em
0 <= r <= 1, 0 <= theta < 2pi

Resposta

Phi(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;tfracr^22sin(2theta)r), 0 <= r <= 1,;;0 <= theta < 2pi

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