Prove that
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
. O conteúdo que vamos usar é:
- a série de Taylor de
em torno de , - a definição da transformada de Laplace
- a fórmula
válida para
.
Passo 2
Escrevemos primeiro a expansão em série de Maclaurin de
:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo (justificado por convergência uniforme em
):
Passo 4
Usando a fórmula
com
,
Logo
Passo 5
Basta agora reindexar somando a partir de
. Colocando
temos
, e
Portanto