Prove that Lsin t^2=sumn=1^infty (-1)^n-1(4 n-2) !(2 n-1) ! s^2 n+1.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função sin(t^2). O conteúdo que vamos usar é:
  1. a série de Taylor de sin x em torno de x=0,
  2. a definição da transformada de Laplace
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt,
  1. a fórmula
integral0^inftyt^me^-st,dt=m!s^m+1,
válida para m>-1.

Passo 2

Escrevemos primeiro a expansão em série de Maclaurin de sin x:
sin x=sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1
Substituindo x=t^2, obtemos
sin(t^2) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,l(t^2r)^2k+1 =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!,t^4k+2

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace termo a termo (justificado por convergência uniforme em t>=0):
Lsin(t^2) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!, integral0^inftyt^4k+2e^-st,dt

Passo 4

Usando a fórmula integral0^inftyt^me^-st,dt=m!s^m+1 com m=4k+2,
integral0^inftyt^4k+2e^-st,dt =(4k+2)!s^4k+3
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Lsin(t^2) =sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!, (4k+2)!s^4k+3 =sumk=0^infty(-1)^k,(4k+2)!(2k+1)!,s^4k+3

Passo 5

Basta agora reindexar somando a partir de n=k+1. Colocando n=k+1 temos k=n-1, e
4k+2=4(n-1)+2=4n-2, 2k+1=2(n-1)+1=2n-1, 4k+3=4(n-1)+3=4n-1
Portanto
Lsin(t^2) =sumn=1^infty(-1)^,n-1 (4n-2)!(2n-1)!,s^4n-1

Resposta

boxed Lsin(t^2)(s) =sumn=1^infty(-1)^,n-1, (4n-2)!(2n-1)!,s^4n-1

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